Задача 10151154 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы обоих левых логарифмов положительны, а знаменатель 2x не равен нулю.

ОДЗ

{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{2}} > 0 \\ \frac{x}{3 - x} > 0 \\ 2 x \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > 0 \\ 0 < x < 3 \end{matrix} ⟺ 0 < x < 3

Дробь x/(3 − x) положительна, когда числитель и знаменатель одного знака; вместе с x > 0 это даёт 3 − x > 0, то есть x < 3. Аргумент правого логарифма отдельным условием не выписываем: слева стоит логарифм положительного числа, а из log₇A ≤ log₇B при A > 0 сразу следует B ≥ A > 0.

шаг 2.Сворачиваем левую часть

Коэффициент 2 вносим под знак логарифма, а затем разность логарифмов одного основания сворачиваем в логарифм частного.

2 \log_{7} \frac{x}{\sqrt{2}} = \log_{7} {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2} = \log_{7} \frac{x^{2}}{2}

\log_{7} \frac{x^{2}}{2} - \log_{7} \frac{x}{3 - x} = \log_{7} (\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{3 - x}{x})

\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{3 - x}{x} = \frac{x (3 - x)}{2}

\log_{7} \frac{x (3 - x)}{2} \leq \log_{7} (7 x^{2} + \frac{1}{2 x} - 2,5)

Коэффициент вносится без модуля: по ОДЗ x > 0, поэтому и x/√2 > 0. Сокращение x² на x допустимо — по ОДЗ x ≠ 0.

шаг 3.Снимаем логарифм

Основание 7 > 1 — логарифм возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется. Домножаем обе части на 2x: по ОДЗ это положительное число.

\frac{x (3 - x)}{2} \leq 7 x^{2} + \frac{1}{2 x} - 2,5 | \cdot 2 x

x^{2} (3 - x) \leq 14 x^{3} + 1 - 5 x

3 x^{2} - x^{3} \leq 14 x^{3} + 1 - 5 x

0 \leq 15 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 1

15 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 1 \geq 0

Домножение на 2x: слева получается x²(3 − x), справа 7x²·2x = 14x³, затем (1/(2x))·2x = 1 и 2,5·2x = 5x. Знак «≤» сменился на «≥» не из-за умножения на −1, а потому что мы поменяли стороны местами: A ≤ B равносильно B ≥ A. Слагаемые перенесены с сохранением знаков.

шаг 4.Раскладываем на множители

Кубический многочлен раскладываем группировкой: у пар слагаемых появляется общий множитель (5x − 1).

15 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 1 = 3 x^{2} (5 x - 1) - (5 x - 1)

15 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 1 = (5 x - 1) (3 x^{2} - 1)

(5 x - 1) (3 x^{2} - 1) \geq 0

первый множитель: $5 x - 1 = 0$ ⟺
- $x = 0,2$
второй множитель: $3 x^{2} - 1 = 0$ ⟺
- $x^{2} = \frac{1}{3}$
- $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Группировка: 15x³ − 3x² = 3x²(5x − 1), а −5x + 1 = −(5x − 1); общий множитель (5x − 1) выносим за скобку. Корень из 1/3 приводим к обычному виду: √(1/3) = 1 : √3 = √3 : 3.

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корни −√3/3, 0,2 и √3/3 закрашены (нестрогое ≥), все три простые. Полученное множество пересекаем с ОДЗ 0 < x < 3.

Пробная точка x = 0: (5·0 − 1)(3·0² − 1) = (−1)·(−1) = 1 > 0 — знак «+» на интервале (−√3/3; 0,2), дальше знаки чередуются. ОДЗ отсекает всё левее нуля и правее тройки: отрезок от −√3/3 до 0 выпадает целиком, а луч от √3/3 обрезается справа. Концы 0 и 3 выколоты по ОДЗ.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Сворачиваем левую часть

шаг 3.Снимаем логарифм

шаг 4.Раскладываем на множители

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

ответ