Задача 10151311 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{x^{2} - x} (x^{2} + 4 x + 4) \geq 1

шаг 1.Область допустимых значений

Основание x² − x положительно и не равно единице, аргумент (x + 2)² положителен. Основание зануляется при x = 0 и x = 1, равно единице при x = (1 ± √5)/2, а аргумент — при x = −2.

ОДЗ

x^{2} - x > 0 ⟺ x < 0 или x > 1

x^{2} - x \neq 1 ⟺ x \neq \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

{(x + 2)}^{2} > 0 ⟺ x \neq - 2

x² − x = x(x − 1) > 0 на (−∞; 0) ∪ (1; +∞). Корни x² − x − 1 = 0 дают выколотые точки основания. Аргумент (x + 2)² > 0 убирает x = −2.

шаг 2.Переносим единицу и рационализируем

Записываем 1 = log_{x²−x}(x² − x) и переносим в один логарифм. По методу рационализации знак разности логарифмов совпадает со знаком ((x² − x) − 1)·((x + 2)² − (x² − x)).

\log_{x^{2} - x} ({(x + 2)}^{2}) - \log_{x^{2} - x} (x^{2} - x) \geq 0

(x^{2} - x - 1) ((x + 2)^{2} - (x^{2} - x)) \geq 0

шаг 3.Упрощаем второй множитель

Раскрываем (x + 2)² − (x² − x) = x² + 4x + 4 − x² + x = 5x + 4.

(x^{2} - x - 1) (5 x + 4) \geq 0

Корни x² − x − 1 = 0 равны (1 ± √5)/2 ≈ −0,62 и 1,62; корень 5x + 4 = 0 равен −4/5.

шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Все три корня простые: −4/5, затем (1 − √5)/2, затем (1 + √5)/2. Произведение не отрицательно на [−4/5; (1 − √5)/2] и [(1 + √5)/2; +∞). Пересекаем с ОДЗ (−∞; 0) ∪ (1; +∞), выкалывая точки (1 ± √5)/2, где основание равно 1.

Точка x = −4/5 (основание 1,44, аргумент 1,44) входит: log = 1. Точка (1 − √5)/2 выколота — там основание 1. Интервал [−4/5; (1 − √5)/2) целиком в ОДЗ.

ответ

x \in [- \frac{4}{5}; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; + \infty)

$\log_{x^{2} + x} (x^{2} - 2 x + 1) \leq 1$