условие
шаг 1.Область допустимых значений
Десятичный логарифм определён только при положительном аргументе.
ОДЗ
шаг 2.Делаем замену
Обозначим t = lg x. Неравенство становится многочленом четвёртой степени. Выносим общий множитель t, оставшийся кубический множитель раскладываем.
Кубический множитель t³ − 4t² + 5t − 2: подбором t = 1 — корень (1 − 4 + 5 − 2 = 0). Делим на (t − 1): t³ − 4t² + 5t − 2 = (t − 1)(t² − 3t + 2) = (t − 1)(t − 1)(t − 2) = (t − 1)²(t − 2).
шаг 3.Метод интервалов в t
Корни t = 0 и t = 2 — закрашены (нестрогое ≥), кратность нечётная — знак через них меняется. Корень t = 1 — кратности 2: ставим петельку, знак через неё не меняется. Сама точка t = 1 даёт равенство нулю, поэтому входит в ответ.
Пробная точка t = 0,5: 0,5·(0,5 − 1)²·(0,5 − 2) = 0,5·0,25·(−1,5) < 0 → знак «−». Через петельку при t = 1 знак не меняется, остаётся «−». Решение: t ≤ 0 или t = 1 или t ≥ 2.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 4.Обратная замена
Подставляем t = lg x. Основание 10 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем его, сохраняя знак. Числа 0, 1 и 2 записываем как lg степеней десятки: 0 = lg 1, 1 = lg 10, 2 = lg 100.Случай 1 ограничен снизу ОДЗ x > 0, поэтому 0 < x ≤ 1. Точка x = 10 — изолированное решение (случай 2).