Задача 10151147 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{2} (\sqrt{x^{2} - 4 x} + 3) > \log_{\frac{1}{2}} \frac{2}{\sqrt{x^{2} - 4 x} + \sqrt{x + 1} + 1} + 1

шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренные выражения неотрицательны, аргументы обоих логарифмов положительны.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} - 4 x \geq 0 \\ x + 1 \geq 0 \\ \sqrt{x^{2} - 4 x} + 3 > 0 \\ \frac{2}{\sqrt{x^{2} - 4 x} + \sqrt{x + 1} + 1} > 0 \end{matrix}

\sqrt{x^{2} - 4 x} + 3 \geq 3 > 0

\sqrt{x^{2} - 4 x} + \sqrt{x + 1} + 1 \geq 1 > 0

x^{2} - 4 x \geq 0 ⟺ x (x - 4) \geq 0

x + 1 \geq 0 ⟺ x \geq - 1

Оба аргумента логарифмов положительны автоматически: первый не меньше 3, а знаменатель дроби во втором не меньше 1, поэтому сама дробь положительна. Пробная точка x = 1 для x(x − 4): 1 · (1 − 4) = −3 < 0 — знак «−» на интервале (0; 4), корни 0 и 4 закрашены (нестрогое ≥). ОДЗ: [−1; 0] ∪ [4; +∞).

шаг 2.Вводим обозначения

Оба корня встречаются в неравенстве по нескольку раз — обозначим их буквами. По определению арифметического корня a ≥ 0 и b ≥ 0.

a = \sqrt{x^{2} - 4 x} \geq 0, b = \sqrt{x + 1} \geq 0

\log_{2} (a + 3) > \log_{\frac{1}{2}} \frac{2}{a + b + 1} + 1

Обозначения нужны только для компактности записи: возвращаться к x будем на последнем шаге.

шаг 3.Приводим правую часть к основанию 2

Логарифм по основанию 1/2 переворачивается в логарифм по основанию 2 со знаком минус, а минус вносим внутрь, перевернув дробь. Дальше раскрываем логарифм частного.

\log_{\frac{1}{2}} \frac{2}{a + b + 1} = - \log_{2} \frac{2}{a + b + 1} =

= \log_{2} \frac{a + b + 1}{2} = \log_{2} (a + b + 1) - \log_{2} 2 =

= \log_{2} (a + b + 1) - 1

\log_{2} (a + 3) > \log_{2} (a + b + 1) - 1 + 1

\log_{2} (a + 3) > \log_{2} (a + b + 1)

Использованы свойства логарифма: log_{1/a}t = −logₐt. logₐ(p/q) = logₐp − logₐq. log₂2 = 1, поэтому «−1» и «+1» в правой части взаимно уничтожаются.

шаг 4.Снимаем логарифм

Обе части — логарифмы с основанием 2 > 1, такая функция возрастает, поэтому знак неравенства между аргументами сохраняется.

a + 3 > a + b + 1

3 > b + 1

b < 2

\sqrt{x + 1} < 2

x + 1 < 4

x < 3

Слагаемое a стоит и слева, и справа — оно сокращается, поэтому корень √(x² − 4x) на ответ не влияет. Возведение в квадрат равносильно: обе части неравенства √(x + 1) < 2 неотрицательны, а условие x + 1 ≥ 0 уже есть в ОДЗ.

шаг 5.Пересечение с ОДЗ

Полученное условие x < 3 пересекаем с ОДЗ.

Второй кусок ОДЗ [4; +∞) целиком лежит правее тройки и полностью отсекается условием x < 3. Обе границы ответа закрашены: они пришли из ОДЗ, где неравенства нестрогие.

ответ

x \in [- 1; 0]