условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы определены при положительных основаниях, не равных единице, и положительных аргументах. Знаменатель дроби — произведение логарифмов — не равен нулю.
Аргументы 2x⁻¹, 2x², x положительны при x > 0 автоматически — новых ограничений не дают. Основания x, 2x, 2x⁻² не равны 1 → три исключения. Произведение логарифмов в знаменателе зануляется только при x = 1, что уже исключено.
шаг 2.Замена t = log₂x
Все логарифмы переводим к основанию 2 по формуле перехода log_a b = log₂b / log₂a и обозначаем t = log₂x.
log₂(2x⁻¹) = log₂2 + log₂x⁻¹ = 1 − t, делим на log₂x = t → (1 − t)/t. Аналогично log₂(2x²) = 1 + 2t, log₂(2x) = 1 + t, log₂(2x⁻²) = 1 − 2t. В переменной t ОДЗ даёт t ≠ 0, t ≠ −1, t ≠ 1/2.
шаг 3.Сводим к рациональному неравенству
Подставляем найденные выражения. Деление на дробь — умножение на обратную: степени t собираются в t⁴.
(1 − t)(1 + t) = 1 − t², (1 + 2t)(1 − 2t) = 1 − 4t². В числителе остаются t·t = t², в знаменателе t·t = t², итого делитель t⁴.
шаг 4.Решаем рациональное неравенство
Переносим 40 влево, приводим к общему знаменателю t⁴ и раскладываем числитель на множители.
(1 − t²)(1 − 4t²) = 4t⁴ − 5t² + 1. Раскладываем 36t⁴ + 5t² − 1 = (9t² − 1)(4t² + 1) (замена s = t²: 36s² + 5s − 1 = (9s − 1)(4s + 1)). Множители t⁴ > 0 и 4t² + 1 > 0 положительны, поэтому с учётом минуса неравенство равносильно 9t² − 1 > 0.
шаг 5.Обратная замена
Из t² > 1/9 следует |t| > 1/3, то есть t < −1/3 или t > 1/3. Возвращаемся к x = 2ᵗ. Выколотые по ОДЗ точки t = −1 (x = 1/2) и t = 1/2 (x = √2) попадают внутрь решения — исключаем их.
Точки t = −1 и t = 1/2 лежат внутри закрашенных интервалов решения, но выколоты по ОДЗ — значит границы x = 1/2 и x = √2 из ответа исключаем.