шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы всех логарифмов положительны. Первый 2x² + 1 > 0 при любом x. Второй и третий дают ограничения на x.

шаг 2.Сворачиваем сумму логарифмов

шаг 3.Приводим к одной дроби

Запишем обе части над знаменателем 32x. Слева (1/(32x) + 1) = (1 + 32x)/(32x), справа x/16 + 1 = (x + 16)/16 = (2x² + 32x)/(32x).

(2x² + 1)(1 + 32x) = 64x³ + 2x² + 32x + 1; после вычитания 2x² + 32x остаётся 64x³ + 1.

шаг 4.Раскладываем числитель

Числитель — сумма кубов: 64x³ + 1 = (4x)³ + 1³ = (4x + 1)(16x² − 4x + 1). Второй множитель имеет отрицательный дискриминант, значит положителен всюду и на знак не влияет.

D < 0 ⇒ 16x² − 4x + 1 > 0 всегда. Делим на положительные 16x² − 4x + 1 и 32 — знак не меняется; остаётся (4x + 1)/x ≥ 0.

шаг 5.Метод интервалов

Корень числителя x = −1/4 (закрашен, нестрогое ≥), точка разрыва x = 0 (выколота).

Пробная точка x = 1: (4 + 1)/1 = 5 > 0 → «+». Решение неравенства: x ≤ −1/4 или x > 0.

шаг 6.Пересечение с ОДЗ

Накладываем решение на ОДЗ. Интервал x > 0 целиком входит в ОДЗ; из x ≤ −1/4 в ОДЗ попадает только часть правее −16.

На левом участке остаётся (−16; −1/4]; точка −16 выколота по ОДЗ, −1/4 закрашена. Справа — весь (0; +∞).