Задача 10151141 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Приводим логарифмы к основанию 2

Во всех трёх логарифмах стоит одна и та же переменная — переводим их к основанию 2 по формуле перехода к новому основанию.

\log_{0,5} x = \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 0,5} = \frac{\log_{2} x}{- 1} = - \log_{2} x

\log_{0,5}^{2} x = {(- \log_{2} x)}^{2} = \log_{2}^{2} x

4 \log_{2} \sqrt{x} = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_{2} x = 2 \log_{2} x

\log_{16} x^{4} = 4 \log_{16} x = 4 \cdot \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 16} = \log_{2} x

\sqrt{\log_{2}^{2} x + 2 \log_{2} x} < \sqrt{2} \cdot (4 - \log_{2} x)

Формула перехода: log_a b = log₂b / log₂a. Здесь log₂0,5 = −1 и log₂16 = 4. Показатели степени выносятся из-под знака логарифма при положительном аргументе: √x и x⁴ положительны ровно при x > 0, где исходные логарифмы и определены.

шаг 2.Делаем замену

Переменная входит в неравенство только через log₂x — обозначим этот логарифм буквой t.

t = \log_{2} x

\sqrt{t^{2} + 2 t} < \sqrt{2} \cdot (4 - t)

шаг 3.Область допустимых значений

Логарифмы определены при x > 0, подкоренное выражение неотрицательно.

ОДЗ

{\begin{matrix} x > 0 \\ t^{2} + 2 t \geq 0 \end{matrix}

t^{2} + 2 t \geq 0

t (t + 2) \geq 0

Пробная точка t = 1: 1·(1 + 2) = 3 > 0 — знак «+» на правом интервале, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≥). Условие x > 0 отдельного ограничения на t не даёт: логарифм t = log₂x пробегает все значения именно при x > 0.

шаг 4.Решаем неравенство в t

Слева стоит арифметический корень, поэтому правая часть обязана быть строго положительной. При t < 4 обе части неотрицательны, и возведение в квадрат равносильно.

\sqrt{2} \cdot (4 - t) > 0 ⟺ t < 4

t^{2} + 2 t < 2 {(4 - t)}^{2}

t^{2} + 2 t < 2 (16 - 8 t + t^{2})

t^{2} + 2 t < 32 - 16 t + 2 t^{2}

0 < t^{2} - 18 t + 32

t^{2} - 18 t + 32 > 0

(t - 2) (t - 16) > 0

Знак «<» сменился на «>» не из-за умножения на −1, а потому что мы поменяли стороны местами: A < B ⟺ B > A. Слагаемые перенесены со своими знаками. По теореме Виета для t² − 18t + 32 сумма корней должна равняться 18, произведение — 32. Подбираем 2 и 16 — оба сходятся. Пробная точка t = 0: (0 − 2)(0 − 16) = 32 > 0 — знак «+» на левом интервале, чередование «+, −, +». Обе точки выколоты (строгое >). Условие t < 4 целиком отсекает луч (16; +∞), а ОДЗ убирает интервал (−2; 0). Остаётся t ≤ −2 и 0 ≤ t < 2.

шаг 5.Обратная замена

Подставляем t = log₂x. Основание 2 > 1, логарифм возрастает — знаки неравенств сохраняются.

\log_{2} x \leq - 2 ⟺ 0 < x \leq 2^{- 2}

2^{- 2} = \frac{1}{4} = 0,25

0 \leq \log_{2} x < 2 ⟺ 2^{0} \leq x < 2^{2}

2^{0} = 1, 2^{2} = 4

Точка x = 0 выколота — левее неё логарифмов просто нет. Границы 0,25 и 1 закрашены (в t неравенства нестрогие), правая граница 4 выколота строгим неравенством.

условие

шаг 1.Приводим логарифмы к основанию 2

шаг 2.Делаем замену

шаг 3.Область допустимых значений

шаг 4.Решаем неравенство в t

шаг 5.Обратная замена

ответ