условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основание степени положительно при любом x, но не должно равняться единице. Аргумент — степень семёрки, он положителен всегда; нужно лишь, чтобы был определён его показатель. Знаменатель правой части в ноль не обращается.
Степень положительного числа равна единице только при нулевом показателе, поэтому x + 1/2 ≠ 0. Показатель 2 : (x² + x) определён, когда x² + x ≠ 0. Итог ОДЗ: x ≠ −1, x ≠ −0,5, x ≠ 0.
шаг 2.Переходим к основанию 7
И основание, и аргумент — степени семёрки. Корень записываем как степень с показателем 1/2, приводим основание к виду «семёрка в степени» и берём логарифм: он равен отношению показателей.
Правило: log_{aᵖ}(a^q) = q : p при a > 0, a ≠ 1, p ≠ 0. Здесь p = (2x + 1) : 4 и q = 2 : (x² + x); деление на дробь — умножение на обратную.
шаг 3.Сводим к рациональному неравенству
Переносим правую часть влево и приводим к общему знаменателю x(x + 1)(2x + 1).
Вторую дробь домножаем на x(x + 1) — тогда у обеих дробей общий знаменатель x(x + 1)(2x + 1). Проверка по Виета: для x² + x − 2 сумма корней должна равняться −1, произведение — −2. У нас −2 + 1 = −1 и (−2)·1 = −2 — оба сходятся. Множитель −4 оставляем в числителе и на −4 неравенство не делим: знак определит пробная точка.
шаг 4.Метод интервалов
Корни числителя: −2 и 1 — закрашены (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: −1, −0,5 и 0 — выколоты, это ровно ограничения ОДЗ. Все корни простые, знаки чередуются.
Пробная точка x = 2: −4·(2 + 2)(2 − 1) : (2 · 3 · 5) = −16 : 30 < 0 → на интервале (1; +∞) знак «−». Все выколотые точки — это ограничения ОДЗ, поэтому отдельного пересечения с ОДЗ не требуется. Решение: −2 ≤ x < −1, или −0,5 < x < 0, или x ≥ 1.