шаг 1.Область допустимых значений

Логарифмы определены при положительных аргументах. Условия log₅(x + 2) и log₂(−x) дают x + 2 > 0 и −x > 0; квадраты (x + 2)² и x² положительны автоматически (кроме нулей). Пересечение — интервал −2 < x < 0.

На этом интервале x + 2 ∈ (0; 2) и −x ∈ (0; 2). Это понадобится при оценке знаков логарифмов.

шаг 2.Упрощаем логарифмы

Выносим показатели степеней из аргументов. На ОДЗ x + 2 > 0, поэтому log₅(x + 2)² = 2·log₅(x + 2). Так как x < 0, то |x| = −x, и log_{1/2}x² = −log₂x² = −2·log₂(−x).

Основание 1/2 даёт знак минус: log_{1/2}A = −log₂A. Аргумент x² = (−x)², а −x > 0, поэтому log₂x² = 2·log₂(−x).

шаг 3.Замена и разложение на множители

Обозначим a = log₅(x + 2) и b = log₂(−x). Подставляем упрощённые выражения, раскрываем скобки и группируем — левая часть раскладывается на множители.

Группировка: −4ab − 4a + 4b + 4 = −4(ab + a − b − 1) = −4(a(b + 1) − (b + 1)) = −4(a − 1)(b + 1). Делим на −4 < 0 — знак неравенства переворачивается.

шаг 4.Оцениваем множители на ОДЗ

На ОДЗ x + 2 ∈ (0; 2), поэтому a = log₅(x + 2) < log₅5 = 1, и множитель (a − 1) < 0 всегда. Значит произведение (a − 1)(b + 1) ≥ 0 требует (b + 1) ≤ 0.

шаг 5.Пересечение с ОДЗ

Неравенство −x ≤ 1/2 означает x ≥ −1/2. Пересекаем с ОДЗ −2 < x < 0. Точка x = −1/2 закрашена: там b + 1 = 0, произведение равно нулю и удовлетворяет нестрогому ≥.

Из −x ≤ 1/2 следует x ≥ −1/2. Граница 0 выколота (вне ОДЗ), точка −1/2 включена. Итог: −1/2 ≤ x < 0.