шаг 1.Область допустимых значений

Основания логарифмов положительны и не равны единице, аргументы положительны.

Условие x > −5 сильнее, чем x > −7. Точка x = 10 лежит вне x < 9, ограничения не добавляет. Остаётся −5 < x < 9 с выколотой точкой x = −4 (там x + 5 = 1).

шаг 2.Метод рационализации

Знак «∼» — совпадение знаков на ОДЗ. После замены неравенство стало рациональным — решаем методом интервалов и пересекаем с ОДЗ.

шаг 3.Упрощаем на области определения

На ОДЗ выполнено −5 < x < 9, поэтому множители 10 − x > 0 и x + 6 > 0 положительны и на знак не влияют. Остаётся произведение (x + 4)(8 − x).

Делим на положительные множители; умножение (x + 4)(8 − x) на −1 переворачивает знак: (x + 4)(x − 8) ≥ 0.

шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Нули x = −4 и x = 8 закрашены (нестрогое неравенство). Из решения выбрасываем то, что вне ОДЗ: x = −4 выколота, правая граница интервала — x = 9.

Пробная точка x = 0 на (−4; 8): (0 + 4)(0 − 8) = −32 < 0 ✗. На (−5; −4) и (8; 9): произведение > 0 ✓. Точка x = 8 закрашена (там log_{x+5}(9 − x) = 0). Левая граница −5 и точка −4 выколоты по ОДЗ.