Задача 10151368 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

У внешнего логарифма основание — само выражение log₂x²: оно должно быть положительным и не равным единице. У внутреннего логарифма аргумент x² положителен.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} > 0 \\ \log_{2} x^{2} > 0 \\ \log_{2} x^{2} \neq 1 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ \log_{2} x^{2} > \log_{2} 1 \\ \log_{2} x^{2} \neq \log_{2} 2 \end{matrix} ⟺

{\begin{matrix} x \neq 0 \\ x^{2} > 1 \\ x^{2} \neq 2 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} | x | > 1 \\ x \neq \pm \sqrt{2} \end{matrix}

Условие x² > 1 сильнее, чем x ≠ 0, поэтому первое ограничение поглощается. x² > 1 равносильно |x| > 1, а x² ≠ 2 — условию x ≠ ±√2.

шаг 2.Упрощаем левую часть

Множитель 2 вносим в аргумент: 2log_a b = log_a b². Основание внешнего логарифма обозначим t = log₂x²; по ОДЗ t > 0 и t ≠ 1.

2 \log_{\log_{2} x^{2}} 2 = \log_{\log_{2} x^{2}} 2^{2} = \log_{\log_{2} x^{2}} 4

t = \log_{2} x^{2}, t > 0, t \neq 1

\log_{t} 4 < 1

Вносить множитель в аргумент здесь безопасно: аргумент 2 положителен, поэтому 2log_a 2 = log_a 2² = log_a 4. Остаётся неравенство с переменным основанием — разбираем два случая.

шаг 3.Случай 1: основание t > 1

Записываем единицу как log_t t. При t > 1 логарифм возрастает — знак неравенства сохраняется.

1) t > 1

\log_{t} 4 < \log_{t} t

4 < t

Условие случая t > 1 выполнено автоматически: из t > 4 следует t > 1. Решение случая 1: t > 4.

шаг 4.Случай 2: основание 0 < t < 1

Здесь логарифм убывает, поэтому при снятии логарифмов знак неравенства переворачивается.

2) 0 < t < 1

\log_{t} 4 < \log_{t} t

4 > t

Неравенство t < 4 выполнено на всём интервале (0; 1), поэтому в ответ идёт весь этот интервал. Решение случая 2: 0 < t < 1.

шаг 5.Обратная замена

Подставляем t = log₂x². Основание 2 > 1, логарифм возрастает — снимаем его, сохраняя знаки.

1) \log_{2} x^{2} > 4

\log_{2} x^{2} > \log_{2} 2^{4}

x^{2} > 16 ⟺ | x | > 4

2) 0 < \log_{2} x^{2} < 1

\log_{2} 1 < \log_{2} x^{2} < \log_{2} 2

1 < x^{2} < 2 ⟺ 1 < | x | < \sqrt{2}

Границы получаются потенцированием: 2⁴ = 16, 2⁰ = 1, 2¹ = 2. Неравенство x² > a² при a > 0 равносильно |x| > a.

шаг 6.Возвращаемся к x

Раскрываем модули. Оба условия симметричны относительно нуля, поэтому каждое даёт по два интервала.

| x | > 4 ⟺ [\begin{matrix} x < - 4 \\ x > 4 \end{matrix}

1 < | x | < \sqrt{2} ⟺ [\begin{matrix} - \sqrt{2} < x < - 1 \\ 1 < x < \sqrt{2} \end{matrix}

Все шесть границ выколоты: ±1 и ±√2 исключены ОДЗ, ±4 — строгостью исходного неравенства.

условие