Задача 10151139 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

(x - 1) (2 \log_{3}^{2} x - 5 \log_{3} x + 2) < 0

шаг 1.Область допустимых значений

Логарифм определён только при положительном аргументе, других ограничений в записи нет.

ОДЗ

x > 0

шаг 2.Раскладываем скобку с логарифмами

Вторая скобка — квадратный трёхчлен относительно t = log₃x. Раскладываем его через дискриминант и возвращаемся к логарифмам.

t = \log_{3} x

2 t^{2} - 5 t + 2 = 0

D = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9

t = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \begin{matrix} = 2 \\ = 0,5 \end{matrix}

2 t^{2} - 5 t + 2 = 2 (t - 0,5) (t - 2)

(x - 1) \cdot 2 (\log_{3} x - 0,5) (\log_{3} x - 2) < 0

Проверка по Виета: для 2t² − 5t + 2 сумма корней должна равняться 2,5, произведение — 1. У нас 0,5 + 2 = 2,5 и 0,5 · 2 = 1 — оба сходятся. Множитель 2 положителен и на знак произведения не влияет, но из записи его не убираем — метод интервалов работает с выражением как есть.

шаг 3.Нули множителей

Приравниваем каждый множитель к нулю. Основание 3 больше единицы, логарифм возрастает — записываем правые части как log₃ степеней тройки и сравниваем аргументы.

первый множитель: $x - 1 = 0$ ⟺
- $x = 1$
второй множитель: $\log_{3} x - 0,5 = 0$ ⟺
- $\log_{3} x = \log_{3} \sqrt{3} ⟺ x = \sqrt{3}$
третий множитель: $\log_{3} x - 2 = 0$ ⟺
- $\log_{3} x = \log_{3} 9 ⟺ x = 9$

0,5 = log₃√3, потому что √3 = 3^{0,5}; 2 = log₃9, потому что 9 = 3².

шаг 4.Метод интервалов

Нули множителей: x = 1, x = √3 ≈ 1,73 и x = 9 — все выколоты, неравенство строгое. Каждый из них нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Слева ось обрывается на границе ОДЗ x = 0.

Пробная точка x = 3 из интервала (√3; 9): (3 − 1) · 2 · (log₃3 − 0,5)(log₃3 − 2) = 2 · 2 · 0,5 · (−1) = −2 < 0 — знак «−», строгое неравенство выполнено. Через каждый нуль знак меняется, поэтому чередование «−, +, −, +». Точки 1, √3 и 9 выколоты строгим неравенством, точка 0 — граница ОДЗ.

ответ

x \in (0; 1) \cup (\sqrt{3}; 9)