Задача 10151351 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{x^{2}} (\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}) \leq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Основание логарифма положительно и не равно единице, аргумент положителен.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} > 0 \\ x^{2} \neq 1 \\ \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} > 0 \end{matrix}

\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} = \frac{2 x + 3}{x^{2}} > 0 ⟺ 2 x + 3 > 0

{\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq 1, x \neq - 1 \\ x > - \frac{3}{2} \end{matrix}

Знаменатель x² > 0 всюду, кроме x = 0, поэтому знак дроби (2x + 3)/x² совпадает со знаком числителя: 2x + 3 > 0 ⟹ x > −3/2. Основание x² = 1 при x = ±1 — эти точки исключаем.

шаг 2.Метод рационализации

По методу рационализации знак log_{x²}(b) совпадает со знаком (x² − 1)(b − 1). Приводим аргумент к одной дроби и считаем (b − 1).

b - 1 = \frac{2 x + 3}{x^{2}} - 1 = \frac{2 x + 3 - x^{2}}{x^{2}} = \frac{- (x - 3) (x + 1)}{x^{2}}

(x^{2} - 1) \cdot \frac{- (x - 3) (x + 1)}{x^{2}} \leq 0

\frac{- (x - 1) {(x + 1)}^{2} (x - 3)}{x^{2}} \leq 0

x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1), поэтому 2x + 3 − x² = −(x − 3)(x + 1). Множитель x² − 1 = (x − 1)(x + 1) объединяем с (x + 1) в (x + 1)².

шаг 3.Упрощаем неравенство

На ОДЗ множители (x + 1)² и x² строго положительны (x ≠ 0, x ≠ −1), поэтому на знак не влияют. Остаётся определить знак произведения (x − 1)(x − 3).

(x - 1) (x - 3) \geq 0

x \leq 1 или x \geq 3

Знак минус и деление на положительное x² переворачивают неравенство: −(x − 1)(x − 3)/x² ≤ 0 равносильно (x − 1)(x − 3) ≥ 0.

шаг 4.Пересекаем с ОДЗ

На оси отмечаем 1 и 3 — корни (x − 1)(x − 3). Из ОДЗ выкалываем границу −3/2 и точки −1, 0, 1, не входящие в область. Закрашена только точка 3.

Пробная точка x = 0,5 на (−3/2; 1): (0,5 − 1)(0,5 − 3) = (−0,5)(−2,5) > 0 ✓. Точки −3/2 (граница ОДЗ), −1 и 1 (основание равно 1), 0 (не входит в ОДЗ) выколоты; 3 закрашена.

ответ

x \in (- \frac{3}{2}; - 1) \cup (- 1; 0) \cup (0; 1) \cup [3; + \infty)

$\log_{x^{2}} (\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}) \leq 0$