условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Слева это 3 − x, справа — полный квадрат, который положителен при всех x, кроме одной точки.
Квадрат (x − 3)² неотрицателен при любом x и обращается в ноль лишь при x = 3, поэтому (x − 3)² > 0 равносильно x ≠ 3. Условие x < 3 строже: оно уже исключает точку x = 3.
шаг 2.Приводим оба логарифма к основанию 8
Основание 4096 — это 8⁴, поэтому левый логарифм переводим в основание 8 по формуле перехода. Справа под логарифмом стоит полный квадрат: показатель степени выносится вперёд только вместе с модулем, и уже потом модуль раскрывается по ОДЗ.
Формула перехода к новому основанию: log_b a = log_c a ÷ log_c b; здесь c = 8 и log₈4096 = 4, потому что 8⁴ = 4096. Выносить показатель степени без модуля нельзя: log₈(x − 3)² = 2log₈|x − 3|. На ОДЗ x < 3, поэтому |x − 3| = 3 − x.
шаг 3.Выносим общий множитель
Теперь в обеих частях стоит один и тот же логарифм. Переносим правую часть влево и выносим log₈(3 − x) за скобку. Затем умножаем неравенство на 4 — число положительное, знак сохраняется.
Множитель log₈(3 − x) обращается в ноль при 3 − x = 1, то есть при x = 2. Множитель x² − 8 обращается в ноль при x = ±2√2, потому что 8 = 4 · 2 и √8 = 2√2.
шаг 4.Метод интервалов
Произведение должно быть неотрицательным. Нули множителей: x = −2√2 и x = 2√2 (из x² − 8), x = 2 (здесь log₈(3 − x) = 0) — все закрашены, неравенство нестрогое. Все три нуля лежат в ОДЗ x < 3. Правая граница ОДЗ x = 3 выколота: правее логарифм не определён.
Пробная точка x = 0 из интервала (−2√2; 2): log₈(3 − 0) · (0² − 8) = log₈3 · (−8). Здесь log₈3 > 0, значит произведение отрицательно — знак «−», условие ≥ 0 не выполнено. Все нули нечётной кратности, поэтому через каждый из них знак меняется. Проверка крайнего правого интервала (2√2; 3) в точке x = 2,9: log₈0,1 < 0 и 2,9² − 8 > 0, произведение снова «−».