Задача 10151380 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Основание x + 1 положительно и не равно единице, все аргументы логарифмов положительны. Самое сильное ограничение даёт аргумент 2x − 5.

ОДЗ

{\begin{matrix} x + 1 > 0, x + 1 \neq 1 \\ x - 1 > 0 \\ 2 x - 5 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > - 1, x \neq 0 \\ x > 1 \\ x > 2,5 \\ x > 2 \end{matrix} ⟺

x > 2,5

Все остальные условия слабее условия x > 2,5 и в итог не попадают.

шаг 2.Сравниваем дробь с единицей

Обозначим три квадрата логарифмов буквами и перенесём единицу влево. Числитель и знаменатель отличаются только вторым слагаемым, поэтому разность сводится к сравнению B и C.

A = \log_{x + 1}^{2} (x - 1), B = \log_{5}^{2} (2 x - 5), C = \log_{5}^{2} (x - 2)

\frac{A + B}{A + C} > 1

\frac{A + B - (A + C)}{A + C} > 0

\frac{B - C}{A + C} > 0

B - C > 0

Знаменатель A + C — сумма двух квадратов, он неотрицателен и обращается в ноль только если оба слагаемых нули: A = 0 при x = 2, C = 0 при x = 3, одновременно это невозможно. На ОДЗ x > 2,5 знаменатель строго положителен, поэтому дробь положительна ровно тогда, когда положителен числитель.

шаг 3.Разность квадратов логарифмов

Раскладываем разность квадратов по формуле a² − b² = (a − b)(a + b), а разность и сумму логарифмов по одному основанию сворачиваем в логарифм частного и логарифм произведения.

B - C = \log_{5}^{2} (2 x - 5) - \log_{5}^{2} (x - 2) =

= (\log_{5} (2 x - 5) - \log_{5} (x - 2)) (\log_{5} (2 x - 5) + \log_{5} (x - 2))

\log_{5} \frac{2 x - 5}{x - 2} \cdot \log_{5} ((2 x - 5) (x - 2)) > 0

Разность логарифмов: log₅ f − log₅ g = log₅ (f/g). Сумма логарифмов: log₅ f + log₅ g = log₅ (fg).

шаг 4.Метод рационализации

Знак каждого логарифма определяем методом рационализации: log₅ f имеет тот же знак, что (5 − 1)(f − 1), то есть тот же знак, что f − 1. Положительный множитель 4 на знак не влияет, а ОДЗ уже выписана в первом шаге.

\frac{2 x - 5}{x - 2} - 1 = \frac{2 x - 5 - (x - 2)}{x - 2} = \frac{x - 3}{x - 2}

(2 x - 5) (x - 2) - 1 = 2 x^{2} - 9 x + 9 = (2 x - 3) (x - 3)

\frac{x - 3}{x - 2} \cdot (2 x - 3) (x - 3) > 0

\frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 3)}{x - 2} > 0

Проверка по Виета: для 2x² − 9x + 9 сумма корней должна равняться 4,5, произведение — 4,5. У нас 1,5 + 3 = 4,5 и 1,5 · 3 = 4,5 — оба сходятся.

шаг 5.Метод интервалов

Корень числителя x = 1,5 выколот (строгое >). Точка разрыва знаменателя x = 2 выколота. Точка x = 3 — корень чётной кратности 2 → петелька, знак через неё не меняется, а сама она выколота строгим неравенством.

Пробная точка x = 2,5 на интервале (2; 3): (2,5 − 3)²(2 · 2,5 − 3)/(2,5 − 2) = 0,25 · 2 / 0,5 = 1 > 0 — знак «+». ОДЗ оставляет только правую часть оси, а точка x = 3 выпадает из ответа: там обе части исходной дроби равны и неравенство становится равенством. Проверка: x = 3 ⇒ 2x − 5 = 1 и x − 2 = 1, оба логарифма равны нулю, дробь равна A/A = 1 — строгое неравенство не выполняется ✓.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Сравниваем дробь с единицей

шаг 3.Разность квадратов логарифмов

шаг 4.Метод рационализации

шаг 5.Метод интервалов

ответ