условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Слева это x + 3, справа — полный квадрат, который положителен при всех x, кроме одной точки.
Квадрат (x + 3)² неотрицателен при любом x и обращается в ноль лишь при x = −3, поэтому (x + 3)² > 0 равносильно x ≠ −3. Условие x > −3 строже: оно уже исключает точку x = −3.
шаг 2.Приводим оба логарифма к основанию 7
Основание 343 — это 7³, поэтому левый логарифм переводим в основание 7 по формуле перехода. Справа под логарифмом стоит полный квадрат: показатель степени выносится вперёд только вместе с модулем, и уже потом модуль раскрывается по ОДЗ.
Формула перехода к новому основанию: log_b a = log_c a ÷ log_c b; здесь c = 7 и log₇343 = 3. Выносить показатель степени без модуля нельзя: log₇(x + 3)² = 2log₇|x + 3|. На ОДЗ x > −3, поэтому |x + 3| = x + 3.
шаг 3.Выносим общий множитель
Теперь в обеих частях стоит один и тот же логарифм. Переносим правую часть влево и выносим log₇(x + 3) за скобку. Затем умножаем неравенство на 3 — число положительное, знак сохраняется.
Множитель log₇(x + 3) обращается в ноль при x + 3 = 1, то есть при x = −2. Множитель x² − 6 обращается в ноль при x = ±√6.
шаг 4.Метод интервалов
Произведение должно быть неположительным. Нули множителей: x = −√6 и x = √6 (из x² − 6), x = −2 (здесь log₇(x + 3) = 0) — все закрашены, неравенство нестрогое. Все три нуля лежат в ОДЗ x > −3. Левая граница ОДЗ x = −3 выколота: левее логарифм не определён.
Пробная точка x = 0 из интервала (−2; √6): log₇(0 + 3)·(0² − 6) = log₇3·(−6). Здесь log₇3 > 0, значит произведение отрицательно — знак «−», условие ≤ 0 выполнено. Все нули нечётной кратности, поэтому через каждый из них знак меняется. Проверка крайнего левого интервала (−3; −√6) в точке x = −2,7: log₇0,3 < 0 и 2,7² − 6 > 0, произведение снова «−».