шаг 1.Область допустимых значений

Под логарифмом слева стоит x + 5 — требуем x + 5 > 0. Справа аргумент x² + 10x + 25 = (x + 5)² положителен при всех x, кроме x = −5, но это значение уже отсекается условием x + 5 > 0.

шаг 2.Приводим логарифмы к основанию 2

Основание 512 = 2⁹, поэтому log₅₁₂(x + 5) = ⅑·log₂(x + 5). Справа раскладываем x² + 10x + 25 = (x + 5)² и выносим показатель степени: на ОДЗ x + 5 > 0, значит log₂(x + 5)² = 2·log₂(x + 5). Переносим всё влево, выносим общий множитель log₂(x + 5) и умножаем неравенство на 9 > 0.

Множитель log₂(x + 5) обращается в нуль при x + 5 = 1, то есть в точке x = −4. Множитель x² − 18 — в точках x = ±3√2.

шаг 3.Метод интервалов

Произведение неположительно. Отмечаем на оси (внутри ОДЗ x > −5) нули множителей: x = −3√2, x = −4 (здесь log₂(x + 5) = 0) и x = 3√2 — все закрашены (нестрогое ≤). Граница ОДЗ x = −5 выколота. Знак произведения на каждом интервале определяем пробной точкой; через каждый из нулей знак меняется.

Пробная точка x = −4,5 на (−5; −3√2): log₂0,5 < 0, x² − 18 = 2,25 > 0 → произведение «−». Пробная точка x = −4,1 на (−3√2; −4): log₂0,9 < 0, x² − 18 = −1,19 < 0 → «+». Пробная точка x = 0 на (−4; 3√2): log₂5 > 0, −18 < 0 → «−». Все три нуля лежат в ОДЗ x > −5.