Задача 10151371 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{\sqrt[3]{9 x}} \sqrt{\frac{x^{3}}{3}} + \log_{\sqrt[3]{3 x^{2}}} \sqrt{27 x} \leq 3

шаг 1.Область допустимых значений

Оба основания положительны и не равны единице, оба аргумента положительны. Корень любой степени положителен ровно тогда, когда положительно подкоренное выражение.

ОДЗ

{\begin{matrix} \sqrt[3]{9 x} > 0 \\ \sqrt[3]{9 x} \neq 1 \\ \sqrt{\frac{x^{3}}{3}} > 0 \\ \sqrt[3]{3 x^{2}} > 0 \\ \sqrt[3]{3 x^{2}} \neq 1 \\ \sqrt{27 x} > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > 0 \\ 9 x \neq 1 \\ x > 0 \\ x \neq 0 \\ 3 x^{2} \neq 1 \\ x > 0 \end{matrix}

3 x^{2} = 1 ⟺ x^{2} = \frac{1}{3} ⟺ x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

{\begin{matrix} x > 0 \\ x \neq \frac{1}{9} \\ x \neq \frac{\sqrt{3}}{3} \end{matrix}

Условие x > 0 сразу поглощает x ≠ 0 и делает лишним отдельный разбор аргументов. Из 9x = 1 получаем x = 1/9, из 3x² = 1 — два значения ±√3/3, из которых условие x > 0 оставляет только √3/3.

шаг 2.Переходим к одному основанию

Все основания и аргументы — произведения степеней тройки и степеней x. Обозначаем t = log₃x и по формуле перехода к новому основанию расписываем каждый логарифм как отношение логарифмов по основанию 3.

t = \log_{3} x

\log_{3} \sqrt[3]{9 x} = \frac{1}{3} \log_{3} (9 x) = \frac{2 + t}{3}

\log_{3} \sqrt{\frac{x^{3}}{3}} = \frac{1}{2} \log_{3} \frac{x^{3}}{3} = \frac{3 t - 1}{2}

\log_{3} \sqrt[3]{3 x^{2}} = \frac{1}{3} \log_{3} (3 x^{2}) = \frac{1 + 2 t}{3}

\log_{3} \sqrt{27 x} = \frac{1}{2} \log_{3} (27 x) = \frac{3 + t}{2}

\log_{\sqrt[3]{9 x}} \sqrt{\frac{x^{3}}{3}} = \frac{3 t - 1}{2} \cdot \frac{3}{t + 2} = \frac{3 (3 t - 1)}{2 (t + 2)}

\log_{\sqrt[3]{3 x^{2}}} \sqrt{27 x} = \frac{3 + t}{2} \cdot \frac{3}{2 t + 1} = \frac{3 (t + 3)}{2 (2 t + 1)}

Логарифм корня — это логарифм подкоренного выражения, делённый на показатель корня: log₃∛A = (1/3)log₃A, log₃√A = (1/2)log₃A. Дальше пользуемся тем, что log₃9 = 2, log₃3 = 1, log₃27 = 3, а log₃x = t.

шаг 3.Решаем неравенство в t

Сокращаем общий множитель 3/2 в обеих дробях, переносим двойку влево и сводим всё к одной дроби. Числитель раскладываем через дискриминант.

\frac{3 (3 t - 1)}{2 (t + 2)} + \frac{3 (t + 3)}{2 (2 t + 1)} \leq 3

\frac{3 t - 1}{t + 2} + \frac{t + 3}{2 t + 1} \leq 2

\frac{(3 t - 1) (2 t + 1) + (t + 3) (t + 2) - 2 (t + 2) (2 t + 1)}{(t + 2) (2 t + 1)} \leq 0

\frac{6 t^{2} + t - 1 + t^{2} + 5 t + 6 - 4 t^{2} - 10 t - 4}{(t + 2) (2 t + 1)} \leq 0

\frac{3 t^{2} - 4 t + 1}{(t + 2) (2 t + 1)} \leq 0

3 t^{2} - 4 t + 1 = 0

D = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4

t = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} \begin{matrix} = 1 \\ = \frac{1}{3} \end{matrix}

\frac{3 (t - 1) (t - \frac{1}{3})}{(t + 2) (2 t + 1)} \leq 0

Пробная точка t = 0 на интервале (−0,5; 1/3): 3(0 − 1)(0 − 1/3)/((0 + 2)(0 + 1)) = 1/2 > 0 — знак «+». Все четыре точки простые, дальше знаки чередуются. Корни числителя 1/3 и 1 закрашены (нестрогое ≤). Точки разрыва −2 и −0,5 выколоты: в них 9x = 1 и 3x² = 1, то есть основания обращаются в единицу — это ровно исключённые ОДЗ значения. Решение: t ∈ (−2; −0,5) ∪ [1/3; 1].

шаг 4.Обратная замена

Возвращаемся к x по формуле t = log₃x. Основание 3 больше единицы, поэтому при снятии логарифмов все знаки сохраняются.

- 2 < \log_{3} x < - 0,5

3^{- 2} < x < 3^{- 0,5}

\frac{1}{9} < x < \frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{1}{3} \leq \log_{3} x \leq 1

3^{\frac{1}{3}} \leq x \leq 3

\sqrt[3]{3} \leq x \leq 3

Отрицательная степень — это дробь: 3⁻² = 1/9, а 3⁻⁰·⁵ = 1/√3 = √3/3. Обе части ответа лежат правее нуля, поэтому условие ОДЗ x > 0 выполнено. Выколотые точки 1/9 и √3/3 — это как раз исключённые ОДЗ значения, и они оказались концами интервала.

ответ

x \in (\frac{1}{9}; \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup [\sqrt[3]{3}; 3]