Задача 10151142 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Аргументы обоих логарифмов — степени одного выражения u = x² − 6x − 6, и по ОДЗ u > 0. Приводим логарифмы к общему основанию 5: числитель оказывается произведением отрицательной константы на log₅u. Дальше сам логарифм заменяем рационализирующим множителем — метод рационализации. Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому переход записываем равносильной системой: неравенство ① и ограничение ②.

u = x^{2} - 6 x - 6

\log_{5} u^{2} - \log_{11} u^{3} = 2 \log_{5} u - 3 \log_{11} u

\log_{11} u = \frac{\log_{5} u}{\log_{5} 11}

2 \log_{5} u - 3 \cdot \frac{\log_{5} u}{\log_{5} 11} = \frac{2 \log_{5} 11 - 3}{\log_{5} 11} \cdot \log_{5} u

2 \log_{5} 11 - 3 = \log_{5} 121 - \log_{5} 125 < 0

\log_{5} 11 > 0

\frac{2 \log_{5} 11 - 3}{\log_{5} 11} < 0

\log_{5} u \sim (5 - 1) (u - 1)

\log_{5} u^{2} - \log_{11} u^{3} \sim (5 - 1) (1 - u)

\frac{\log_{5} u^{2} - \log_{11} u^{3}}{4 + x - 3 x^{2}} \geq 0 ⟺

⟺ {\begin{matrix} \frac{(5 - 1) (1 - u)}{4 + x - 3 x^{2}} \geq 0 & 1 \\ u > 0 & 2 \end{matrix}

Показатели выносятся без модуля: по ОДЗ u > 0. 2·log₅11 = log₅121, а 3 = log₅125; 121 < 125, поэтому разность отрицательна. Основание 11 > 1 даёт log₅11 > 0 — вся константа-коэффициент отрицательна, и знак числителя противоположен знаку log₅u. Поэтому в скобке ① стоит (1 − u), а не (u − 1). Нули знаменателя отдельной строкой не выписываем: они остаются точками разрыва дроби ①.

шаг 2.Неравенство ①

Убираем положительный множитель (5 − 1) = 4, затем раскладываем числитель и знаменатель на множители и решаем методом интервалов.

1 \frac{(5 - 1) (1 - u)}{4 + x - 3 x^{2}} \geq 0

\frac{4 (1 - u)}{4 + x - 3 x^{2}} \geq 0 | : 4

\frac{1 - u}{4 + x - 3 x^{2}} \geq 0

1 - u = 1 - (x^{2} - 6 x - 6) = - x^{2} + 6 x + 7

- x^{2} + 6 x + 7 = - (x^{2} - 6 x - 7)

x^{2} - 6 x - 7 = (x - 7) (x + 1)

1 - u = - (x - 7) (x + 1) = (7 - x) (x + 1)

4 + x - 3 x^{2} = 4 + 4 x - 3 x - 3 x^{2}

4 + 4 x - 3 x - 3 x^{2} = 4 (1 + x) - 3 x (1 + x)

4 + x - 3 x^{2} = (x + 1) (4 - 3 x)

\frac{(7 - x) (x + 1)}{(x + 1) (4 - 3 x)} \geq 0

По теореме Виета для x² − 6x − 7 = 0: сумма корней должна равняться 6, произведение — −7. Подбираем 7 и −1, отсюда x² − 6x − 7 = (x − 7)(x + 1). Знаменатель раскладываем группировкой: 4 + 4x − 3x − 3x² = 4(1 + x) − 3x(1 + x) = (x + 1)(4 − 3x). Пробная точка x = 0: (7 − 0)(0 + 1) / ((0 + 1)(4 − 0)) = 7/4 > 0 — знак «+» на интервале (−1; 4/3). Точка x = −1 — общий ноль числителя и знаменателя, суммарная кратность чётная → петелька: точка выколота, знак через неё не меняется. Корень x = 7 закрашен (нестрогое ≥), точка разрыва 4/3 выколота. Решение ①: (−∞; −1) ∪ (−1; 4/3) ∪ [7; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — положительность аргументов логарифмов. Раскладываем трёхчлен через дискриминант и решаем методом интервалов.

2 x^{2} - 6 x - 6 > 0

D = {(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 6) = 36 + 24 = 60

x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2} \begin{matrix} = 3 + \sqrt{15} \\ = 3 - \sqrt{15} \end{matrix}

(x - 3 + \sqrt{15}) (x - 3 - \sqrt{15}) > 0

Упрощаем корень: √60 = √(4·15) = 2√15, поэтому корни равны 3 ± √15 (примерно −0,87 и 6,87). Пробная точка x = 0: 0² − 6·0 − 6 = −6 < 0 — знак «−» в среднем интервале, чередование «+, −, +». Корни выколоты (строгое >). Решение ②: x < 3 − √15 или x > 3 + √15.

шаг 4.Пересечение

Пересекаем решение ① с ограничением ②. Интервал от 3 − √15 до 4/3 выпадает: там аргументы логарифмов отрицательны. Луч x ≥ 7 остаётся целиком, потому что 7 > 3 + √15 ≈ 6,87.

Точка x = −1 остаётся выколотой: в ней знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Граница 3 − √15 выколота ограничением ②, а точка x = 7 закрашена — в ней числитель равен нулю и дробь равна нулю.

условие

шаг 1.Метод рационализации

шаг 2.Неравенство ①

шаг 3.Ограничение ②

шаг 4.Пересечение

ответ