шаг 1.Область допустимых значений

Основание (x − 3)² положительно и не равно единице, аргумент положителен. Корни аргумента ищем через дискриминант.

Чётная степень (x − 3)² неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x = 3, поэтому (x − 3)² > 0 равносильно x ≠ 3. Условие (x − 3)² ≠ 1 распадается на x − 3 ≠ 1 и x − 3 ≠ −1, то есть x ≠ 4 и x ≠ 2. Парабола 3x² + 7x + 1 ветвями вверх, поэтому она положительна вне своих корней: пробная точка x = −1 даёт 3 − 7 + 1 = −3 < 0, знак «−» между корнями.

шаг 2.Метод рационализации

Замена знака работает только на ОДЗ — там основание (x − 3)² положительно и не равно единице, а аргумент положителен. Корни произведения видны сразу: 4, 2, 0 и корень уравнения 3x + 7 = 0, то есть x = −7/3.

шаг 3.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корни произведения: −7/3, 0, 2 и 4 — все простые, закрашены (нестрогое ≥). ОДЗ выкалывает 2 и 4 (там основание равно единице), 3 (там основание равно нулю) и выбрасывает промежуток между корнями аргумента.

Пробная точка x = 1 на интервале (0; 2): (1 − 4)(1 − 2) · 1 · (3 + 7) = (−3) · (−1) · 10 = 30 > 0 — знак «+». Все четыре корня простые, дальше знаки чередуются. Точка −7/3 остаётся в ответе: −7/3 = −14/6, а левый корень аргумента равен −(7 + √37)/6. Так как 7 = √49 и 49 > 37, то √37 < 7, значит 7 + √37 < 14 и −(7 + √37)/6 больше −14/6 — точка −7/3 лежит левее промежутка, выброшенного ОДЗ. В ней аргумент равен единице, а логарифм — нулю. Точки 2 и 4 выколоты по ОДЗ, а точка 3 лежит внутри интервала со знаком «−» и на ответ не влияет.