условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основание 16x положительно и не равно единице, все аргументы логарифмов положительны.
Условие 16x⁴ > 0 означает лишь x ≠ 0 и целиком входит в x > 0.
шаг 2.Приводим всё к основанию 2
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Формула log_a b = 1 : log_b a верна при a, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1 — на ОДЗ все условия выполнены. log₂16x = 4 + log₂x, а log₂16x⁴ = 4 + 4log₂x: показатель 4 выносится без модуля, потому что на ОДЗ x > 0.
шаг 3.Делаем замену
Обозначим t = log₂x. Условие x ≠ 1/16 из ОДЗ превращается в t ≠ −4. Переносим всё влево и приводим к одной дроби.
При x = 1/16 основание 16x равно единице — логарифм не определён, поэтому t = log₂(1/16) = −4 исключено. Проверка по Виета для t² + t − 6: сумма корней должна равняться −1, произведение — −6. Подходят −3 и 2.
шаг 4.Метод интервалов
Корни числителя: −3 и 2 — закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва: t = −4 — выколота.
Пробная точка t = 0 на (−3; 2): (0 + 3)(0 − 2) : (0 + 4) = −6 : 4 < 0 — знак «−»; через простые корни знаки чередуются. Решение: −4 < t ≤ −3 или t ≥ 2.
шаг 5.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Числа −4, −3 и 2 записали как log₂2⁻⁴, log₂2⁻³ и log₂4 — логарифмы того же основания 2. 2⁻⁴ = 1/16, 2⁻³ = 1/8.