Задача 10151390 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Оба аргумента раскладываются через сами основания: первый — полный квадрат, второй — их произведение. Дальше выписываем стандартные условия: основания положительны и не равны единице, аргументы положительны.

ОДЗ

9 + 12 x + 4 x^{2} = {(2 x + 3)}^{2}

(2 x + 3) (3 x + 7) = 6 x^{2} + 14 x + 9 x + 21 = 6 x^{2} + 23 x + 21

{\begin{matrix} 3 x + 7 > 0 \\ 3 x + 7 \neq 1 \\ {(2 x + 3)}^{2} > 0 \\ 2 x + 3 > 0 \\ 2 x + 3 \neq 1 \\ (2 x + 3) (3 x + 7) > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > - \frac{7}{3} \\ x \neq - 2 \\ x \neq - 1,5 \\ x > - 1,5 \\ x \neq - 1 \\ (2 x + 3) (3 x + 7) > 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} x > - 1,5 \\ x \neq - 1 \end{matrix}

Оба разложения проверяются раскрытием скобок: (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9, а множители 2x + 3 и 3x + 7 уже стоят в условии как основания логарифмов. Условие x > −1,5 строже, чем x > −7/3, и заодно снимает x ≠ −2 и x ≠ −1,5. При x > −1,5 оба множителя 2x + 3 и 3x + 7 положительны, поэтому их произведение положительно автоматически. Выколотая точка −1 — там основание 2x + 3 обращается в единицу.

шаг 2.Замена переменной

Оба логарифма выражаются через один: обозначим u = log_{3x+7}(2x + 3). Первый аргумент — квадрат основания второго логарифма, поэтому степень выносится множителем, а второй логарифм по формуле перехода к новому основанию оказывается обратным к u.

u = \log_{3 x + 7} (2 x + 3)

\log_{3 x + 7} {(2 x + 3)}^{2} = 2 \log_{3 x + 7} (2 x + 3) = 2 u

\log_{2 x + 3} ((2 x + 3) (3 x + 7)) = \log_{2 x + 3} (2 x + 3) + \log_{2 x + 3} (3 x + 7) =

= 1 + \frac{1}{u}

2 u + 1 + \frac{1}{u} \leq 4

На ОДЗ 2x + 3 > 0, поэтому модуль при вынесении чётной степени не нужен. Логарифм основания по самому себе равен единице, а log_{2x+3}(3x + 7) = 1/log_{3x+7}(2x + 3) = 1/u. Деление на u законно: u = 0 означало бы 2x + 3 = 1, то есть x = −1, а это значение исключено ОДЗ.

шаг 3.Решаем неравенство в u

Переносим 4 влево и сводим к одной дроби. Числитель раскладываем через дискриминант.

2 u + \frac{1}{u} - 3 \leq 0

\frac{2 u^{2} - 3 u + 1}{u} \leq 0

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

D = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1

u = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} \begin{matrix} = 1 \\ = 0,5 \end{matrix}

\frac{2 (u - 1) (u - 0,5)}{u} \leq 0

Пробная точка u = 2: 2(2 − 1)(2 − 0,5)/2 = 1,5 > 0 — знак «+». Все три точки простые, дальше знаки чередуются. Корни числителя 0,5 и 1 закрашены (нестрогое ≤), точка разрыва 0 выколота. Решение: u < 0 или 0,5 ≤ u ≤ 1 — разбираем эти два случая по отдельности.

шаг 4.Случай u < 0

На ОДЗ x > −1,5, поэтому основание 3x + 7 больше 2,5 — оно больше единицы. Логарифм с таким основанием отрицателен ровно тогда, когда аргумент лежит между нулём и единицей.

\log_{3 x + 7} (2 x + 3) < 0

0 < 2 x + 3 < 1

- 1,5 < x < - 1

Левое условие 0 < 2x + 3 — это ровно ОДЗ x > −1,5, поэтому пересечение с ОДЗ ничего не отнимает, а правый конец −1 и так выколот.

шаг 5.Случай 0,5 ≤ u ≤ 1

Основание 3x + 7 больше единицы, поэтому оба неравенства переносятся на аргументы без перемены знака. Правое число записываем как логарифм самого основания, левое — как логарифм квадратного корня из него.

\log_{3 x + 7} (2 x + 3) \leq 1

\log_{3 x + 7} (2 x + 3) \leq \log_{3 x + 7} (3 x + 7)

2 x + 3 \leq 3 x + 7

x \geq - 4

\log_{3 x + 7} (2 x + 3) \geq 0,5

\log_{3 x + 7} (2 x + 3) \geq \log_{3 x + 7} \sqrt{3 x + 7}

2 x + 3 \geq \sqrt{3 x + 7}

{(2 x + 3)}^{2} \geq 3 x + 7

4 x^{2} + 12 x + 9 \geq 3 x + 7

4 x^{2} + 9 x + 2 \geq 0

4 x^{2} + 9 x + 2 = 0

D = 9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49

x = \frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{- 9 \pm 7}{8} \begin{matrix} = - 0,25 \\ = - 2 \end{matrix}

4 (x + 0,25) (x + 2) \geq 0

Условие x ≥ −4 выполняется на всей ОДЗ, поэтому ограничение u ≤ 1 ничего не отсекает. Обе части неравенства 2x + 3 ≥ √(3x + 7) неотрицательны на ОДЗ, поэтому его равносильно возвести в квадрат. Пробная точка x = 0 на интервале (−0,25; +∞): 4 · 0 + 9 · 0 + 2 = 2 > 0 — знак «+». Интервал x ≤ −2 лежит левее ОДЗ и целиком выпадает.

шаг 6.Объединение

Собираем ответ из двух случаев: интервал из шага 4 и луч из шага 5.

Проверка граничной точки: при x = −0,25 основания равны 6,25 и 2,5, а 2,5² = 6,25, поэтому u = 0,5 и левая часть равна 2 · 0,5 + 1 + 2 = 4 — равенство достигается, точка входит в ответ.