условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основание x положительно и не равно единице, оба аргумента положительны. Условие x³ − 1 > 0 даёт x > 1.
ОДЗ
На промежутке x > 1 условие x > 0, x ≠ 1 выполнено автоматически. Положительность второго аргумента x³ + 2x − 4 проверим уже на найденном решении.
шаг 2.Метод рационализации
Слева и справа — логарифмы с одним переменным основанием x. На ОДЗ x > 1, то есть основание больше единицы. По методу рационализацииМетод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
Множитель задаёт направление: при он положителен (знак как у ), при — отрицателен, знак переворачивается.
знак разности log_x f − log_x g совпадает со знаком (x − 1)(f − g), а множитель (x − 1) > 0.(x³ − 1) − (x³ + 2x − 4) = −2x + 3 = 3 − 2x. Множитель x − 1 > 0 на ОДЗ, поэтому неравенство равносильно 3 − 2x ≤ 0.
шаг 3.Решаем и пересекаем с ОДЗ
Так как x − 1 > 0, остаётся 3 − 2x ≤ 0, то есть x ≥ 1,5. Все такие значения лежат в ОДЗ: при x ≥ 1,5 оба аргумента положительны.
Точка x = 1,5 закрашена (нестрогое неравенство, разность аргументов равна 0). При x ≥ 1,5 первый аргумент x³ − 1 ≥ 2,375 > 0 и второй x³ + 2x − 4 ≥ 2,375 > 0 — ОДЗ выполнено.