условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Слева это x − 3, справа — полный квадрат, который положителен при всех x, кроме одной точки.
Квадрат (x − 3)² неотрицателен при любом x и обращается в ноль лишь при x = 3, поэтому (x − 3)² > 0 равносильно x ≠ 3. Условие x > 3 строже: оно уже исключает точку x = 3.
шаг 2.Приводим оба логарифма к основанию 5
Основание 25 — это 5², поэтому левый логарифм переводим в основание 5 по формуле перехода. Справа под логарифмом стоит полный квадрат: показатель степени выносится вперёд только вместе с модулем, и уже потом модуль раскрывается по ОДЗ.
Формула перехода к новому основанию: log_b a = log_c a ÷ log_c b; здесь c = 5 и log₅25 = 2. Выносить показатель степени без модуля нельзя: log₅(x − 3)² = 2log₅|x − 3|. На ОДЗ x > 3, поэтому |x − 3| = x − 3.
шаг 3.Выносим общий множитель
Теперь в обеих частях стоит один и тот же логарифм. Переносим правую часть влево и выносим log₅(x − 3) за скобку. Затем умножаем неравенство на 2 — число положительное, знак сохраняется.
Множитель log₅(x − 3) обращается в ноль при x − 3 = 1, то есть при x = 4. Множитель x² − 4 обращается в ноль при x = ±2, но обе эти точки лежат левее ОДЗ x > 3.
шаг 4.Метод интервалов
Произведение должно быть неотрицательным. Нули множителя x² − 4 — это x = −2 и x = 2, оба вне ОДЗ x > 3, поэтому на всём ОДЗ множитель x² − 4 положителен и знак произведения совпадает со знаком log₅(x − 3). Внутри ОДЗ остаётся единственный нуль x = 4 — закрашен, неравенство нестрогое. Левая граница ОДЗ x = 3 выколота: левее логарифм не определён.
Пробная точка x = 3,5 из интервала (3; 4): log₅(3,5 − 3)·(3,5² − 4) = log₅0,5·8,25. Здесь log₅0,5 < 0, значит произведение отрицательно — знак «−», условие ≥ 0 не выполнено. На всём ОДЗ x² − 4 > 3² − 4 = 5 > 0, поэтому знак меняется только при переходе через x = 4. Проверка правого интервала в точке x = 5: log₅2 > 0 и 5² − 4 = 21 > 0, произведение «+».