Задача 10150570 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{x^{2} + 1} {(x - 3)}^{2} \cdot \log_{x^{2} + 1} \frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \leq - 2

Основание логарифма больше единицы, аргумент положителен.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} + 1 > 1 \\ {(x - 3)}^{2} > 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq 3 \end{matrix}

Обозначим A = log_{x²+1}(x − 3)². Второй логарифм выражается через A.

A = \log_{x^{2} + 1} {(x - 3)}^{2}

\log_{x^{2} + 1} \frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = A - 3

A (A - 3) \leq - 2

A^{2} - 3 A + 2 \leq 0

(A - 1) (A - 2) \leq 0

1 \leq A \leq 2

A² − 3A + 2: по теореме Виета сумма корней 3, произведение 2 → корни 1 и 2, поэтому A² − 3A + 2 = (A − 1)(A − 2).

Основание логарифма x² + 1 > 1, логарифм возрастает, поэтому 1 ≤ log_{x²+1}(x − 3)² ≤ 2 равносильно x² + 1 ≤ (x − 3)² ≤ (x² + 1)².

{(x - 3)}^{2} \geq x^{2} + 1 \Rightarrow - 6 x + 9 \geq 1 \Rightarrow x \leq \frac{4}{3}

{(x - 3)}^{2} \leq {(x^{2} + 1)}^{2} \Rightarrow (x^{2} - x + 4) (x^{2} + x - 2) \geq 0

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1) \geq 0 \Rightarrow x \leq - 2 или x \geq 1

(x²+1)² − (x−3)² = (x²−x+4)(x²+x−2); множитель x² − x + 4 > 0 всегда.

Пересекаем x ≤ 4/3 с (x ≤ −2 или x ≥ 1). Точки x = 0 и x = 3 в ОДЗ не входят, но в найденные промежутки и так не попадают.

x ≤ −2 удовлетворяет обоим условиям; на [1; +∞) остаётся 1 ≤ x ≤ 4/3.

x \in (- \infty; - 2] \cup [1; \frac{4}{3}]