условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы логарифмов положительны при x > 0. Основания 0,5x и 0,125x не равны единице, поэтому x ≠ 2 и x ≠ 8. Знаменатель log_{0,125x}8 в ноль не обращается, так как 8 ≠ 1.
Аргументы 2x, 2, 8 положительны при x > 0. Основания степени 0,5x и 0,125x дают выколотые точки x = 2 и x = 8.
шаг 2.Замена t = log₂ x
Переводим всё к основанию 2 и обозначаем t = log₂ x. Каждый логарифм выражаем через t по формуле перехода.
log₂(0,5x) = log₂ x − 1 = t − 1, log₂(0,125x) = t − 3. По ОДЗ t ≠ 1 и t ≠ 3.
шаг 3.Сводим к рациональному неравенству
Подставляем выражения и переносим единицу влево. Деление на дробь — умножение на обратную.
(1 + t)(t − 3) − 3(t − 1) = t² − 2t − 3 − 3t + 3 = t² − 5t = t(t − 5). Положительный множитель 3 на знак не влияет.
шаг 4.Метод интервалов в t
Корни числителя: t = 0 и t = 5 — закрашены (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя: t = 1 — выколота. Точка t = 3 выколота по ОДЗ (при ней основание 0,125x равно 1); знак дроби через неё не меняется, поэтому слева и справа от неё стоит один и тот же «−».
Пробная точка t = 2: 2·(2 − 5)/(2 − 1) = (2·(−3))/1 = −6 < 0 → на (1; 5) знак «−». Через t = 3 знак не меняется: это не корень дроби, а выколотая точка ОДЗ. Решение: t ≤ 0 или 1 < t ≤ 5, причём t = 3 выколота (там 0,125x = 1).
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x = 2ᵗ. Неравенство t ≤ 0 даёт 0 < x ≤ 1; промежуток 1 < t < 3 — это 2 < x < 8; промежуток 3 < t ≤ 5 — это 8 < x ≤ 32.
Точки x = 2 (t = 1) и x = 8 (t = 3) выколоты по ОДЗ. Граница x = 32 (t = 5) входит.