условие

log22⁡(3x−1)+log3x−12⁡2−log2⁡(3x−1)2−log3x−1⁡4+2≤0

шаг 1.Область допустимых значений

Выражение 3x − 1 стоит и аргументом, и основанием логарифма: оно должно быть положительным и не равным единице. Аргументы 2 и 4 положительны сами по себе.

ОДЗ
{3x−1>03x−1≠1⟺{x>13x≠23

Аргумент (3x − 1)² положителен при всех x ≠ 1/3, и это условие уже входит в x > 1/3.

шаг 2.Приводим все логарифмы к одному

Квадрат из аргумента выносим множителем, четвёрку записываем как степень двойки, а логарифм с основанием 3x − 1 переворачиваемПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
. После этого во всей левой части остаётся единственный логарифм — log₂(3x − 1).
log2⁡(3x−1)2=2log2⁡(3x−1)
log3x−1⁡4=log3x−1⁡22=2log3x−1⁡2
log3x−1⁡2=1log2⁡(3x−1)

На ОДЗ 3x − 1 > 0, поэтому квадрат выносится из-под логарифма без модуля. Переход к обратной величине — формула log_a b = 1 : log_b a, она верна при a, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1.

шаг 3.Делаем замену

Обозначим t = log₂(3x − 1). По ОДЗ 3x − 1 ≠ 1, поэтому t ≠ 0. Каждое слагаемое переписываем через t.

t=log2⁡(3x−1),t≠0
t2+1t2−2t−2t+2≤0

Квадрат логарифма даёт t², квадрат обратной величины — 1 : t², слагаемое log₂(3x − 1)² — это 2t, а log_{3x−1}4 — это 2 : t.

шаг 4.Сводим к одной дроби

Общий знаменатель — t². Числитель получается многочленом четвёртой степени; группируем его в произведение, выделив полный квадрат.

t4+1−2t3−2t+2t2t2≤0
t4−2t3+2t2−2t+1t2≤0
t4−2t3+2t2−2t+1=(t4+2t2+1)−(2t3+2t)=
=(t2+1)2−2t(t2+1)=(t2+1)(t2−2t+1)=
=(t2+1)(t−1)2
(t2+1)(t−1)2t2≤0

Группировка: t⁴ + 2t² + 1 = (t² + 1)² — полный квадрат, а 2t³ + 2t = 2t(t² + 1); общий множитель (t² + 1) выносим. Знаменатель t² не убираем — идём в метод интервалов с дробью как есть.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 1 — чётной кратности 2, поэтому петелька: знак через точку не меняется; закрашен (нестрогое ≤). Точка разрыва t = 0 — тоже чётной кратности, выколота по ОДЗ, петелька. Множитель t² + 1 нулей не имеет и всегда положителен.

+++01
−∞
+∞
t
Пробная точка t = −1: ((−1)² + 1)·(−1 − 1)² : (−1)² = 2·4 : 1 = 8 > 0 — знак «+». Через обе петельки знак не меняется, поэтому дробь положительна всюду. Нестрогое ≤ 0 выполняется только там, где дробь равна нулю, — в единственной точке t = 1.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.

шаг 6.Обратная замена

Возвращаемся к x: подставляем t = log₂(3x − 1) в найденное равенство. Логарифм по основанию 2 > 1 возрастает,Логарифм и знак неравенства
Функция y=loga⁡x монотонна при x>0. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: loga⁡A≶loga⁡B⟺A≶B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, loga⁡A≤loga⁡B⟺A≥B.
Число c превращаем в логарифм того же основания: c=loga⁡ac — тогда сравниваем аргументы (не забывая A>0).
 поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов.
log2⁡(3x−1)=1
log2⁡(3x−1)=log2⁡2
3x−1=2
x=1

Единицу записали как log₂2 — логарифм того же основания. Проверка по ОДЗ: 3·1 − 1 = 2 > 0 и 2 ≠ 1, значение подходит.

ответ

x=1
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -