Задача 10151381 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{| 2 x + 2 |} (1 - 9^{x}) < \log_{| 2 x + 2 |} (1 + 3^{x}) + \log_{| 2 x + 2 |} (\frac{5}{9} + 3^{x - 1})

шаг 1.Сворачиваем правую часть

Сумма логарифмов по одному основанию — логарифм произведения. После этого обе части однотипны, и можно применять метод рационализации.

\log_{| 2 x + 2 |} (1 + 3^{x}) + \log_{| 2 x + 2 |} (\frac{5}{9} + 3^{x - 1}) =

= \log_{| 2 x + 2 |} ((1 + 3^{x}) (\frac{5}{9} + 3^{x - 1}))

Оба аргумента справа положительны при любом x, поэтому свёртка законна и новых ограничений не даёт.

шаг 2.Метод рационализации

Основание логарифма зависит от x, поэтому переходим к разности аргументов методом рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③.

{\begin{matrix} (| 2 x + 2 | - 1) ((1 - 9^{x}) - (1 + 3^{x}) (\frac{5}{9} + 3^{x - 1})) < 0 & 1 \\ | 2 x + 2 | > 0, | 2 x + 2 | \neq 1 & 2 \\ 1 - 9^{x} > 0 & 3 \end{matrix}

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице, условие ③ — аргумент левого логарифма положителен. Аргументы правых логарифмов положительны при любом x и отдельного условия не требуют.

шаг 3.Неравенство ①

Во второй скобке выносим общий множитель (1 + 3ˣ): слева работает разность квадратов, справа общий знаменатель 9. Остаток оказывается разностью степеней с основанием 3.

1 - 9^{x} = (1 - 3^{x}) (1 + 3^{x})

\frac{5}{9} + 3^{x - 1} = \frac{5 + 3 \cdot 3^{x}}{9} = \frac{5 + 3^{x + 1}}{9}

(1 - 3^{x}) (1 + 3^{x}) - \frac{(1 + 3^{x}) (5 + 3^{x + 1})}{9} =

= \frac{(1 + 3^{x}) (9 - 9 \cdot 3^{x} - 5 - 3^{x + 1})}{9} =

= \frac{4 (1 + 3^{x}) (1 - 3^{x + 1})}{9}

9 · 3ˣ = 3^{x+2} = 3 · 3^{x+1}, поэтому 9 − 9 · 3ˣ − 5 − 3^{x+1} = 4 − 4 · 3^{x+1} = 4(1 − 3^{x+1}).

шаг 4.Раскрываем знаки множителей

Модуль и разность степеней тоже рационализируем: |f| − |g| имеет тот же знак, что (f − g)(f + g), а разность степеней с основанием 3 > 1 — тот же знак, что разность показателей степени. Множитель 4(1 + 3ˣ)/9 положителен при любом x.

| 2 x + 2 | - 1 = | 2 x + 2 | - | 1 |

(2 x + 2 - 1) (2 x + 2 + 1) = (2 x + 1) (2 x + 3)

1 - 3^{x + 1} = 3^{0} - 3^{x + 1}

(3 - 1) (0 - (x + 1)) = - 2 (x + 1)

1 (2 x + 1) (2 x + 3) \cdot (- 2 (x + 1)) < 0

Положительный множитель 4(1 + 3ˣ)/9 на знак не влияет и в неравенство не переносится. Минус во втором множителе оставляем на месте: знак расставится прямо в этой форме через пробную точку.

шаг 5.Ограничения ② и ③

Условие ② запрещает основанию обращаться в ноль и в единицу. Условие ③ — положительность аргумента: 9ˣ < 1 = 9⁰, а показательная функция с основанием степени 9 > 1 возрастает.

2 | 2 x + 2 | > 0, | 2 x + 2 | \neq 1

2 | x + 1 | > 0, 2 | x + 1 | \neq 1

x \neq - 1, x \neq - 0,5, x \neq - 1,5

3 1 - 9^{x} > 0

9^{x} < 9^{0}

x < 0

Модуль равен 1/2 при x + 1 = ±1/2, то есть при x = −0,5 и x = −1,5; нулю он равен при x = −1.

шаг 6.Метод интервалов и пересечение

Все три корня неравенства ① выколоты (строгое >). Ограничение ② выкалывает те же три точки, ограничение ③ обрезает правый луч по x = 0.

Пробная точка x = −1,2 на интервале (−1,5; −1): (2 · (−1,2) + 1)(2 · (−1,2) + 3) · (−2)((−1,2) + 1) = (−1,4) · 0,6 · (−2) · (−0,2) = −0,336 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решением ① служат интервалы со знаком «−». Проверка: x = −0,25 ⇒ основание 1,5 > 1, слева log₁,₅ 0,4227 ≈ −2,12, справа ≈ 0,87 — неравенство верно ✓.

ответ

x \in (- 1,5; - 1) \cup (- 0,5; 0)