Задача 10151392 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

(2 x + \frac{10}{x}) \cdot | \log_{x - 1,5} (x^{2} - 4 x + 4) | \leq 9 | \log_{x - 1,5} (x^{2} - 4 x + 4) |

шаг 1.Область допустимых значений

Аргумент логарифма сворачивается в полный квадрат. Основание x − 1,5 положительно и не равно единице, аргумент (x − 2)² положителен при x ≠ 2, а дробь 10 : x требует x ≠ 0.

ОДЗ

x^{2} - 4 x + 4 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = {(x - 2)}^{2}

{\begin{matrix} x \neq 0 \\ x - 1,5 > 0 \\ x - 1,5 \neq 1 \\ {(x - 2)}^{2} > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > 1,5 \\ x \neq 2 \\ x \neq 2,5 \end{matrix}

Чётная степень (x − 2)² неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x = 2, поэтому (x − 2)² > 0 равносильно x ≠ 2. Из x − 1,5 ≠ 1 получаем x ≠ 2,5: при этом значении основание логарифма равно единице. Условие x ≠ 0 выполняется автоматически — все допустимые x больше 1,5.

шаг 2.Разбираем произведение

Один и тот же модуль стоит множителем в обеих частях. Обозначим его M и перенесём всё влево: M ≥ 0, поэтому произведение неположительно либо при M = 0, либо когда неположительна вторая скобка.

M = | \log_{x - 1,5} {(x - 2)}^{2} |, M \geq 0

(2 x + \frac{10}{x}) \cdot M \leq 9 M

(2 x + \frac{10}{x} - 9) \cdot M \leq 0

1) M = 0 ⟺ \log_{x - 1,5} {(x - 2)}^{2} = 0 ⟺ {(x - 2)}^{2} = 1

x - 2 = \pm 1 ⟹ [\begin{matrix} x = 1 \notin ОДЗ \\ x = 3 \to изолированная точка ответа \end{matrix}

2) {\begin{matrix} M > 0, модуль всегда > 0 или = 0 \\ 2 x + \frac{10}{x} - 9 \leq 0 \end{matrix}

Логарифм равен нулю, когда аргумент равен единице: (x − 2)² = 1. Корень x = 1 не входит в ОДЗ (нужно x > 1,5), а x = 3 подходит: при нём обе части исходного неравенства равны нулю. Во втором случае M > 0, и сокращение на M допустимо: случай M = 0 уже разобран в пункте 1), поэтому корень не теряем.

шаг 3.Случай 2: сводим к одной дроби

Приводим левую часть к общему знаменателю x и раскладываем числитель через дискриминант.

2 x + \frac{10}{x} - 9 \leq 0

\frac{2 x^{2} - 9 x + 10}{x} \leq 0

2 x^{2} - 9 x + 10 = 0

D = {(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1

x = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{9 \pm 1}{4} \begin{matrix} = 2,5 \\ = 2 \end{matrix}

2 x^{2} - 9 x + 10 = 2 (x - 2) (x - 2,5)

\frac{2 (x - 2) (x - 2,5)}{x} \leq 0

Числитель: 2x·x + 10 − 9x = 2x² − 9x + 10. Старший коэффициент 2 из скобки не вносим: в форме 2(x − 2)(x − 2,5) корни 2 и 2,5 видны прямо в скобках.

шаг 4.Метод интервалов

Корни числителя: 2 и 2,5 — закрашены (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя x = 0 выколота. Все корни простые, знаки чередуются. Ниже — ось ОДЗ и пересечение: от решения остаётся только промежуток между 2 и 2,5, причём обе границы ОДЗ выкалывает.

Пробная точка x = 1: 2(1 − 2)(1 − 2,5) : 1 = 2·(−1)·(−1,5) = 3 > 0 → на интервале (0; 2) знак «+». Интервал (−∞; 0) знак имеет подходящий, но ОДЗ x > 1,5 его целиком отсекает. Границы 2 и 2,5 на верхней оси закрашены, но ОДЗ их выкалывает: при x = 2 аргумент логарифма равен нулю, при x = 2,5 основание равно единице. Решение случая 2: 2 < x < 2,5.

шаг 5.Объединение

Ответ собираем из двух источников: интервал случая 2 и изолированная точка x = 3 из случая 1.

Точка x = 3 в ОДЗ входит (3 > 1,5, основание 1,5 ≠ 1, аргумент 1 > 0) и обращает обе части исходного неравенства в ноль, поэтому она закрашена.

ответ

x \in (2; 2,5) \cup {3}