Задача 10151301 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{3 x - 3} 3 + \log_{{(x - 1)}^{2}} 27 \geq 2

Основания 3x − 3 и (x − 1)² положительны и не равны единице. Отсюда x > 1, а также x ≠ 4/3 (там 3x − 3 = 1) и x ≠ 2 (там (x − 1)² = 1).

ОДЗ

3 x - 3 > 0 ⟺ x > 1

3 x - 3 \neq 1 ⟺ x \neq \frac{4}{3}

{(x - 1)}^{2} \neq 1 ⟺ x \neq 2

Основание (x − 1)² > 0 убирает x = 1, что уже учтено в x > 1. Точки x = 4/3 и x = 2 выколоты, так как основания там равны единице.

Так как 3x − 3 = 3(x − 1) и 27 = 3³, оба логарифма выражаются через p = log₃(x − 1).

\log_{3 x - 3} 3 = \frac{1}{\log_{3} 3 (x - 1)} = \frac{1}{1 + p}

\log_{{(x - 1)}^{2}} 27 = \frac{\log_{3} 27}{\log_{3} {(x - 1)}^{2}} = \frac{3}{2 p}

log₃3(x − 1) = 1 + log₃(x − 1) = 1 + p, а log₃(x − 1)² = 2p. По ОДЗ p ≠ −1 и p ≠ 0.

Подставляем и переносим 2 влево, приводя к общему знаменателю 2p(1 + p).

\frac{1}{1 + p} + \frac{3}{2 p} - 2 \geq 0

\frac{2 p + 3 (1 + p) - 4 p (1 + p)}{2 p (1 + p)} \geq 0

\frac{- (4 p + 3) (p - 1)}{2 p (1 + p)} \geq 0 ⟺ \frac{(4 p + 3) (p - 1)}{p (p + 1)} \leq 0

Числитель 2p + 3 + 3p − 4p − 4p² = −4p² + p + 3 = −(4p + 3)(p − 1). Множитель −1 и положительная двойка переворачивают неравенство.

Нули числителя p = −3/4 и p = 1 (закрашенные), точки разрыва p = −1 и p = 0 (выколоты). Неравенство ≤ 0 выполнено на (−1; −3/4] и (0; 1].

Все четыре точки простые. На (−1; −3/4] и (0; 1] дробь не положительна, концы −3/4 и 1 входят (там числитель = 0).

Возвращаемся к x = 1 + 3ᵖ. Промежуток −1 < p ≤ −3/4 даёт 4/3 < x ≤ 1 + 3^{−3/4}; промежуток 0 < p ≤ 1 даёт 2 < x ≤ 4.

- 1 < p \leq - \frac{3}{4} ⟹ \frac{4}{3} < x \leq 1 + \frac{1}{\sqrt[4]{27}}

0 < p \leq 1 ⟹ 2 < x \leq 4

3^{−3/4} = 1/⁴√27 ≈ 0,439, поэтому верхняя граница первого куска ≈ 1,439. Точки x = 4/3 (p = −1) и x = 2 (p = 0) выколоты по ОДЗ.

x \in (\frac{4}{3}; 1 + \frac{1}{\sqrt[4]{27}}] \cup (2; 4]