Задача 10151313 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{2} (16 x) \geq \log_{0,5 x} 2 \cdot \log_{4} (16 x^{4})

Аргументы 16x и 16x⁴ положительны при x > 0. Основание степени 0,5x не равно единице, поэтому x ≠ 2. Основания 2 и 4 постоянны.

ОДЗ

0,5 x \neq 1 ⟺ x \neq 2

{\begin{matrix} x > 0 \\ x \neq 2 \end{matrix}

Аргументы 16x, 2, 16x⁴ положительны при x > 0. Ограничение даёт только основание степени 0,5x.

Переводим всё к основанию 2 и обозначаем t = log₂ x. Логарифм по основанию 4 даёт деление на 2.

\log_{2} (16 x) = 4 + t

\log_{0,5 x} 2 = \frac{1}{\log_{2} (0,5 x)} = \frac{1}{t - 1}

\log_{4} (16 x^{4}) = \frac{\log_{2} (16 x^{4})}{2} = \frac{4 + 4 t}{2} = 2 (1 + t)

log₂(0,5x) = t − 1, log₂(16x⁴) = 4 + 4t. По ОДЗ t ≠ 1.

Подставляем и переносим всё влево, приводя к общему знаменателю t − 1.

4 + t \geq \frac{2 (1 + t)}{t - 1}

\frac{(4 + t) (t - 1) - 2 (1 + t)}{t - 1} \geq 0

\frac{t^{2} + t - 6}{t - 1} \geq 0 ⟺ \frac{(t + 3) (t - 2)}{t - 1} \geq 0

(4 + t)(t − 1) − 2(1 + t) = t² + 3t − 4 − 2 − 2t = t² + t − 6 = (t + 3)(t − 2).

Нули числителя t = −3 и t = 2 (закрашенные), точка разрыва t = 1 (выколота). Неравенство ≥ 0 выполнено на [−3; 1) и [2; +∞).

Концы t = −3 и t = 2 входят (числитель = 0), точка разрыва t = 1 выколота.

Возвращаемся к x = 2ᵗ. Промежуток −3 ≤ t < 1 даёт 1/8 ≤ x < 2; промежуток t ≥ 2 даёт x ≥ 4.

- 3 \leq t < 1 ⟹ \frac{1}{8} \leq x < 2

t \geq 2 ⟹ x \geq 4

Точка x = 2 (t = 1) выколота по ОДЗ. Границы x = 1/8 (t = −3) и x = 4 (t = 2) входят.

x \in [\frac{1}{8}; 2) \cup [4; + \infty)