Задача 10151116 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

{(\log_{2}^{2} x - 2 \log_{2} x)}^{2} + 36 \log_{2} x + 45 < 18 \log_{2}^{2} x

шаг 1.Область допустимых значений

Логарифм определён только при положительном аргументе.

ОДЗ

x > 0

шаг 2.Двойная замена

Обозначим t = log₂x. Чтобы выделить выражение t² − 2t, правую часть представляем как 18t² = 18(t² − 2t) + 36t. Слагаемые 36t сокращаются, и удобна вторая замена y = t² − 2t.

t = \log_{2} x

{(t^{2} - 2 t)}^{2} + 36 t + 45 < 18 t^{2}

{(t^{2} - 2 t)}^{2} + 36 t + 45 < 18 (t^{2} - 2 t) + 36 t

{(t^{2} - 2 t)}^{2} + 45 < 18 (t^{2} - 2 t)

y = t^{2} - 2 t

y^{2} + 45 < 18 y

y^{2} - 18 y + 45 < 0

(y - 3) (y - 15) < 0

18t² = 18(t² − 2t) + 36t — добавили и вычли 36t. Корни y² − 18y + 45 по теореме Виета: сумма 18, произведение 45 → y = 3 и y = 15. Парабола ветвями вверх отрицательна между корнями: 3 < y < 15.

шаг 3.Возвращаемся к t

Неравенство 3 < y < 15 — это система двух неравенств для t² − 2t. Решаем каждое через разложение на множители.

t^{2} - 2 t > 3

t^{2} - 2 t - 3 > 0

(t - 3) (t + 1) > 0

t < - 1 или t > 3

t^{2} - 2 t < 15

t^{2} - 2 t - 15 < 0

(t - 5) (t + 3) < 0

- 3 < t < 5

Пересечение двух условий: (t < −1 или t > 3) и (−3 < t < 5) даёт −3 < t < −1 или 3 < t < 5.

шаг 4.Обратная замена

Подставляем t = log₂x в полученные промежутки −3 < t < −1 и 3 < t < 5. Основание 2 > 1, логарифм возрастает — границы записываем как log₂ степеней двойки и сравниваем аргументы.

1) - 3 < \log_{2} x < - 1

\log_{2} \frac{1}{8} < \log_{2} x < \log_{2} \frac{1}{2}

\frac{1}{8} < x < \frac{1}{2}

2) 3 < \log_{2} x < 5

\log_{2} 8 < \log_{2} x < \log_{2} 32

8 < x < 32

−3 = log₂(1/8), −1 = log₂(1/2), 3 = log₂8, 5 = log₂32. Все границы выколоты — неравенство строгое. Обе ветви лежат в ОДЗ x > 0.

ответ

x \in (\frac{1}{8}; \frac{1}{2}) \cup (8; 32)

${(\log_{2}^{2} x - 4 \log_{2} x)}^{2} + 36 \log_{2} x - 36 < 9 \log_{2}^{2} x$