Задача 10151105 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{1 - \sqrt{1 - 8 \log_{2}^{2} x}}{2 \log_{2} x} < 1

шаг 1.Делаем замену

Переменная входит в неравенство только через log₂x — обозначим этот логарифм буквой t.

t = \log_{2} x

\frac{1 - \sqrt{1 - 8 t^{2}}}{2 t} < 1

шаг 2.Область допустимых значений

Логарифм определён при x > 0, подкоренное выражение неотрицательно, знаменатель не равен нулю.

ОДЗ

{\begin{matrix} x > 0 \\ 1 - 8 t^{2} \geq 0 \\ t \neq 0 \end{matrix}

1 - 8 t^{2} \geq 0

t^{2} \leq \frac{1}{8}

| t | \leq \frac{1}{2 \sqrt{2}}

| t | \leq \frac{\sqrt{2}}{4}

- \frac{\sqrt{2}}{4} \leq t \leq \frac{\sqrt{2}}{4}, t \neq 0

Дробь 1/(2√2) домножаем на √2 сверху и снизу — иррациональность уходит из знаменателя: 1/(2√2) = √2/4.

шаг 3.Случай t < 0

Подкоренное выражение не превосходит единицы, поэтому корень не больше 1 и числитель неотрицателен. Знаменатель отрицателен, значит вся дробь неположительна и заведомо меньше 1.

0 \leq 1 - 8 t^{2} \leq 1 ⟹ 0 \leq \sqrt{1 - 8 t^{2}} \leq 1

1 - \sqrt{1 - 8 t^{2}} \geq 0

\frac{1 - \sqrt{1 - 8 t^{2}}}{2 t} \leq 0 < 1

- \frac{\sqrt{2}}{4} \leq t < 0

Неравенство выполнено на всём отрицательном куске ОДЗ — решать здесь нечего.

шаг 4.Случай t > 0

Домножаем обе части на 2t > 0 — знак неравенства сохраняется. Затем возводим в квадрат и приводим подобные.

1 - \sqrt{1 - 8 t^{2}} < 2 t

1 - 2 t < \sqrt{1 - 8 t^{2}}

{(1 - 2 t)}^{2} < 1 - 8 t^{2}

1 - 4 t + 4 t^{2} < 1 - 8 t^{2}

12 t^{2} - 4 t < 0

4 t (3 t - 1) < 0

На ОДЗ t ≤ √2/4 < 1/2, поэтому 1 − 2t > 0: обе части неотрицательны и возведение в квадрат равносильно. Пробная точка t = 1: 4·1·(3·1 − 1) = 4·2 = 8 > 0 — знак «+» на правом интервале, чередование «+, −, +». Обе точки выколоты (строгое <). Найденный интервал целиком лежит в ОДЗ: 1/3 < √2/4, потому что 4 = √16 < √18 = 3√2.

шаг 5.Обратная замена

Объединяем оба случая: t ∈ [−√2/4; 0) ∪ (0; 1/3). Подставляем t = log₂x. Основание 2 > 1, логарифм возрастает — знаки неравенств сохраняются.

- \frac{\sqrt{2}}{4} \leq \log_{2} x < 0 ⟺ 2^{- \frac{\sqrt{2}}{4}} \leq x < 2^{0}

0 < \log_{2} x < \frac{1}{3} ⟺ 2^{0} < x < 2^{\frac{1}{3}}

2^{0} = 1, 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}

Левая граница закрашена (t = −√2/4 входит в решение), точка 1 выколота по ОДЗ (там log₂x = 0), правая граница ∛2 выколота строгим неравенством.

ответ

x \in [2^{- \frac{\sqrt{2}}{4}}; 1) \cup (1; \sqrt[3]{2})