Задача 10151148 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы всех трёх логарифмов положительны. Аргумент второго — полный квадрат (x + 3)².

ОДЗ

{\begin{matrix} x + 3 > 0 \\ x^{2} + 6 x + 9 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > - 3 \\ {(x + 3)}^{2} > 0 \\ x > - 2 \end{matrix} ⟺

{\begin{matrix} x > - 3 \\ x \neq - 3 \\ x > - 2 \end{matrix} ⟺ x > - 2

Чётная степень (x + 3)² неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x + 3 = 0, поэтому (x + 3)² > 0 равносильно x ≠ −3. Самое сильное из трёх условий — x > −2, оно и задаёт ОДЗ.

шаг 2.Приводим первый множитель к основанию 4

Основание 0,25 — это 4⁻¹, поэтому log₀,₂₅(x + 3) = −log₄(x + 3), а возведение в квадрат минус убирает. Во втором логарифме выносим чётную степень: на ОДЗ x + 3 > 0, поэтому модуль не нужен.

0,25 = \frac{1}{4} = 4^{- 1}

\log_{0,25} (x + 3) = \frac{\log_{4} (x + 3)}{\log_{4} 4^{- 1}} = - \log_{4} (x + 3)

\log_{0,25}^{2} (x + 3) = {(- \log_{4} (x + 3))}^{2} = \log_{4}^{2} (x + 3)

x^{2} + 6 x + 9 = {(x + 3)}^{2}

\log_{4} (x^{2} + 6 x + 9) = \log_{4} {(x + 3)}^{2} = 2 \log_{4} (x + 3)

Формула перехода к новому основанию: log_a b = log_c b : log_c a. log₄4⁻¹ = −1, поэтому дробь даёт ровно −log₄(x + 3), а после возведения в квадрат знак пропадает.

шаг 3.Сворачиваем скобку в полный квадрат

Обозначим t = log₄(x + 3). Скобка превращается в квадрат разности.

t = \log_{4} (x + 3)

t^{2} - 2 t + 1 = {(t - 1)}^{2}

{(\log_{4} (x + 3) - 1)}^{2} \cdot \log_{4} (x + 2) \leq 0

Квадрат разности: t² − 2t + 1 = (t − 1)².

шаг 4.Разбираем произведение

Первый множитель — полный квадрат, он неотрицателен при любом x. Значит произведение не положительно в двух случаях: либо квадрат равен нулю, либо второй множитель не положителен.

{(\log_{4} (x + 3) - 1)}^{2} \geq 0

1) {(\log_{4} (x + 3) - 1)}^{2} = 0

2) \log_{4} (x + 2) \leq 0

В случае 1 всё произведение обращается в ноль — нестрогое неравенство выполнено.

шаг 5.Случай 1: квадрат равен нулю

Квадрат обращается в ноль вместе со своим основанием.

\log_{4} (x + 3) - 1 = 0

\log_{4} (x + 3) = 1

\log_{4} (x + 3) = \log_{4} 4

x + 3 = 4 ⟺ x = 1

Потенцирование — операция, обратная логарифмированию: сначала записываем свободный член как log₄4, затем снимаем логарифмы. Точка x = 1 входит в ОДЗ (1 > −2) — это изолированная точка ответа.

шаг 6.Случай 2: второй множитель не положителен

Записываем ноль как log₄1 и снимаем логарифмы. Основание 4 > 1, логарифм возрастает — знак неравенства сохраняется.

\log_{4} (x + 2) \leq 0

\log_{4} (x + 2) \leq \log_{4} 1

x + 2 \leq 1 ⟺ x \leq - 1

вместе с ОДЗ x > - 2 :

- 2 < x \leq - 1

Снизу интервал обрезает ОДЗ: при x = −2 аргумент x + 2 обращается в ноль, и логарифм не определён.

шаг 7.Объединяем случаи

Ответ — интервал из случая 2 вместе с изолированной точкой из случая 1.

Точка x = −2 выколота по ОДЗ; x = −1 закрашена (нестрогое ≤); x = 1 — изолированная точка из случая 1.

условие