условие
шаг 1.Область допустимых значений
У первого логарифма переменная стоит в основании: оно должно быть положительным и не равным единице. У второго логарифма положителен аргумент.
Равенство 625x = 1 даёт x = 1/625 — это значение выкалываем: основание логарифма не может равняться единице. Условие 25x > 0 совпадает с x > 0 и ничего нового не добавляет.
шаг 2.Приводим к основанию 5 и делаем замену
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log₅25 = 2, потому что 25 = 5². log₅0,2 = log₅5⁻¹ = −1, поэтому log₀,₂(25x) = −log₅(25x); при возведении в квадрат минус пропадает. Ограничение ОДЗ x ≠ 1/625 в новой переменной означает 2 + t ≠ 0, то есть t ≠ −2.
шаг 3.Решаем неравенство в t
Подставляем найденные выражения и сводим всё к одной дроби. Знаменатель не убираем: его нуль — это точка разрыва, она работает на числовой прямой наравне с корнями числителя.
По теореме Виета для t² − t − 2 = 0: сумма корней должна равняться 1, произведение — −2. Подбираем 2 и −1, отсюда t² − t − 2 = (t − 2)(t + 1). Пробная точка t = 0: (0 − 2)(0 + 1) = −2 сверху и 0 + 2 = 2 снизу, дробь равна −1 < 0 — знак «−» на интервале (−1; 2), дальше знаки чередуются. Корни −1 и 2 закрашены (нестрогое ≤), точка разрыва −2 выколота — она же исключена ОДЗ. Решение: t < −2 или −1 ≤ t ≤ 2.
шаг 4.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Числа −2 и 2 записываем как log₅5⁻² и log₅5², после чего логарифмы снимаются. Делим все части на 25 — число положительное, знаки неравенств сохраняются.
шаг 5.Пересечение с ОДЗ
Левая ветка дала x < 1/625, но по ОДЗ x > 0. Пересекаем оба полученных множества с ОДЗ.
Точка 1/625 выколота дважды: и неравенством (строгое <), и ОДЗ. Левый конец 0 выколот условием x > 0. Концы 1/125 и 1 закрашены — им отвечают равенства в t.