условие
шаг 1.Область допустимых значений
У внутреннего логарифма основание x − 1 положительно и не равно единице. Значения внешних логарифмов уточним при решении.
Помимо x > 1, x ≠ 2 нужно, чтобы аргумент каждого следующего логарифма был положителен — эти условия учтём ниже как часть цепочки неравенств.
шаг 2.Снимаем внешний логарифм
Основание 1/2 < 1, логарифм убывает. Неравенство log_{1/2} Y > 0 = log_{1/2} 1 равносильно 0 < Y < 1.
При основании меньше 1 знак неравенства переворачивается: log_{1/2} Y > 0 даёт Y < 1, а определённость требует Y > 0.
шаг 3.Снимаем средний логарифм
Основание 2 > 1, логарифм возрастает. Двойное неравенство по основанию 2 переходит к аргументу.
Записали 0 = log_2 1 и 1 = log_2 2; так как основание 2 > 1, неравенство для аргументов сохраняет знаки: 1 < log_{x−1} 9 < 2.
шаг 4.Снимаем внутренний логарифм
В области x > 2 основание x − 1 > 1, логарифм возрастает. Разбиваем двойное неравенство на два.
При основании x − 1 > 1: log_{x−1} 9 > 1 значит 9 > x − 1 (то есть x < 10); log_{x−1} 9 < 2 значит 9 < (x − 1)², то есть x − 1 > 3, x > 4. Если бы 1 < x − 1 < 2, то log_{x−1} 9 > 1 нарушалось.
шаг 5.Пересечение
Объединяем условие 4 < x < 10 с ОДЗ. Точка x = 2 вне этого интервала, ограничений не добавляет.
Интервал (4; 10) целиком лежит в области x > 1, x ≠ 2. Это и есть ответ.