условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Слева это x − 1, справа — полный квадрат, который положителен при всех x, кроме одной точки.
Квадрат (x − 1)² неотрицателен при любом x и обращается в ноль лишь при x = 1, поэтому (x − 1)² > 0 равносильно x ≠ 1. Условие x > 1 строже: оно уже исключает точку x = 1.
шаг 2.Приводим оба логарифма к основанию 7
Основание 343 — это 7³, поэтому левый логарифм переводим в основание 7 по формуле перехода. Справа под логарифмом стоит полный квадрат: показатель степени выносится вперёд только вместе с модулем, и уже потом модуль раскрывается по ОДЗ.
Формула перехода к новому основанию: log_b a = log_c a ÷ log_c b; здесь c = 7 и log₇343 = 3. Выносить показатель степени без модуля нельзя: log₇(x − 1)² = 2log₇|x − 1|. На ОДЗ x > 1, поэтому |x − 1| = x − 1.
шаг 3.Выносим общий множитель
Теперь в обеих частях стоит один и тот же логарифм. Переносим правую часть влево и выносим log₇(x − 1) за скобку. Затем умножаем неравенство на 3 — число положительное, знак сохраняется.
Множитель log₇(x − 1) обращается в ноль при x − 1 = 1, то есть при x = 2. Множитель x² − 6 обращается в ноль при x = ±√6.
шаг 4.Метод интервалов
Произведение должно быть неотрицательным. Нули множителей внутри ОДЗ x > 1: x = 2 (здесь log₇(x − 1) = 0) и x = √6 — оба закрашены, неравенство нестрогое. Второй нуль множителя x² − 6, точка x = −√6, в ОДЗ не попадает и на оси не отмечается. Левая граница ОДЗ x = 1 выколота: левее логарифм не определён.
Пробная точка x = 1,5 из интервала (1; 2): log₇(1,5 − 1)·(1,5² − 6) = log₇0,5·(−3,75). Оба множителя отрицательны, значит произведение положительно — знак «+», условие ≥ 0 выполнено. Оба нуля нечётной кратности, поэтому через каждый из них знак меняется. Проверка правого интервала в точке x = 3: log₇2 > 0 и 3² − 6 = 3 > 0, произведение снова «+».