Задача 10151143 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{5} (\sqrt{x^{2} - 7 x} + 5) > \log_{\frac{1}{5}} (\frac{5}{\sqrt{x^{2} - 7 x} + \sqrt{x + 3} + 2}) + 1

шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренные выражения неотрицательны, аргументы обоих логарифмов положительны.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} - 7 x \geq 0 \\ x + 3 \geq 0 \\ \sqrt{x^{2} - 7 x} + 5 > 0 \\ \frac{5}{\sqrt{x^{2} - 7 x} + \sqrt{x + 3} + 2} > 0 \end{matrix}

\sqrt{x^{2} - 7 x} + 5 \geq 5 > 0

\sqrt{x^{2} - 7 x} + \sqrt{x + 3} + 2 \geq 2 > 0

x^{2} - 7 x \geq 0 ⟺ x (x - 7) \geq 0

x + 3 \geq 0 ⟺ x \geq - 3

Оба аргумента логарифмов положительны автоматически: первый не меньше 5, а знаменатель дроби во втором не меньше 2, поэтому сама дробь положительна. Пробная точка x = 1 для x(x − 7): 1 · (1 − 7) = −6 < 0 — знак «−» на интервале (0; 7), корни 0 и 7 закрашены (нестрогое ≥). ОДЗ: [−3; 0] ∪ [7; +∞).

шаг 2.Вводим обозначения

Оба корня встречаются в неравенстве по нескольку раз — обозначим их буквами. По определению арифметического корня a ≥ 0 и b ≥ 0.

a = \sqrt{x^{2} - 7 x} \geq 0, b = \sqrt{x + 3} \geq 0

\log_{5} (a + 5) > \log_{\frac{1}{5}} \frac{5}{a + b + 2} + 1

Обозначения нужны только для компактности записи: возвращаться к x будем на последнем шаге.

шаг 3.Приводим правую часть к основанию 5

Логарифм по основанию 1/5 переворачивается в логарифм по основанию 5 со знаком минус, а минус вносим внутрь, перевернув дробь. Дальше раскрываем логарифм частного.

\log_{\frac{1}{5}} \frac{5}{a + b + 2} = - \log_{5} \frac{5}{a + b + 2} =

= \log_{5} \frac{a + b + 2}{5} = \log_{5} (a + b + 2) - \log_{5} 5 =

= \log_{5} (a + b + 2) - 1

\log_{5} (a + 5) > \log_{5} (a + b + 2) - 1 + 1

\log_{5} (a + 5) > \log_{5} (a + b + 2)

Использованы свойства логарифма: log_{1/a}t = −logₐt. logₐ(p/q) = logₐp − logₐq. log₅5 = 1, поэтому «−1» и «+1» в правой части взаимно уничтожаются.

шаг 4.Снимаем логарифм

Обе части — логарифмы с основанием 5 > 1, такая функция возрастает, поэтому знак неравенства между аргументами сохраняется.

a + 5 > a + b + 2

5 > b + 2

b < 3

\sqrt{x + 3} < 3

x + 3 < 9

x < 6

Слагаемое a стоит и слева, и справа — оно сокращается, поэтому корень √(x² − 7x) на ответ не влияет. Возведение в квадрат равносильно: обе части неравенства √(x + 3) < 3 неотрицательны, а условие x + 3 ≥ 0 уже есть в ОДЗ.

шаг 5.Пересечение с ОДЗ

Полученное условие x < 6 пересекаем с ОДЗ.

Второй кусок ОДЗ [7; +∞) целиком лежит правее шестёрки и полностью отсекается условием x < 6. Обе границы ответа закрашены: они пришли из ОДЗ, где неравенства нестрогие.

ответ

x \in [- 3; 0]