условие
шаг 1.Область допустимых значений
Правая часть определена только при положительном отношении |x| / x, то есть при x > 0. Основание x/6 положительно и не равно единице, подкоренное выражение положительно, знаменатель lg x не равен нулю, а аргумент внешнего логарифма положителен.
Условие x ≠ 6 поглощается более сильным x < 6. Последнее условие — положительность аргумента внешнего логарифма — отдельно решать не нужно: на шаге 3 для этого аргумента получится более сильное требование «больше единицы».
шаг 2.Правая часть равна нулю
На ОДЗ x > 0, поэтому модуль раскрывается без смены знака, дробь равна единице, а десятичный логарифм единицы равен нулю.
Здесь lg 1 = 0, потому что 10⁰ = 1.
шаг 3.Снимаем внешний логарифм
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Умножение на −1 переворачивает знак: −B > 0 равносильно B < 0. Условие A > 1 сильнее требования ОДЗ A > 0, поэтому положительность аргумента выполняется автоматически. Знак множителя 2·lg x меняется при переходе через x = 1, поэтому дальше разбираем два случая.
шаг 4.Случай 1: x > 1
При x > 1 логарифм lg x положителен. Умножаем обе части на 2·lg x > 0 — знак сохраняется. Затем сворачиваем 2·lg x в lg x² и снимаем десятичный логарифм: основание 10 больше единицы, знак не меняется.
По теореме Виета для x² + x − 6 = 0: сумма корней должна равняться −1, произведение — −6. Подбираем −3 и 2, отсюда x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2). Пробная точка x = 0: (0 + 3)(0 − 2) = −6 < 0 — знак «−» в среднем интервале, чередование «+, −, +». Обе точки выколоты (строгое <). Ось «случай 1» — это условие x > 1 вместе с ограничением ОДЗ x < 6. Пересечение даёт 1 < x < 2.
шаг 5.Случай 2: 0 < x < 1
При 0 < x < 1 логарифм lg x отрицателен. Умножаем обе части на 2·lg x < 0 — знак неравенства переворачивается. Дальше всё так же: сворачиваем в lg x² и снимаем логарифм.
Разложение то же, что в случае 1, изменился только знак: решение (x + 3)(x − 2) > 0 — это x < −3 или x > 2. С полосой 0 < x < 1 общих точек нет — во втором случае решений нет.
шаг 6.Объединение случаев
Решения даёт только первый случай.
Обе границы выколоты: при x = 1 знаменатель lg x обращается в ноль (точка вне ОДЗ), а при x = 2 аргумент A равен единице и неравенство превращается в равенство.