Задача 10151109 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Основание первого логарифма положительно и не равно единице, все три аргумента положительны. Условие x > 1 сразу поглощает и x > −2, и x ≠ 1.

ОДЗ

{\begin{matrix} x - 1 > 0 \\ x - 1 \neq 1 \\ x + 2 > 0 \\ {(x - 1)}^{2} > 0 \\ 10 - x > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > 1 \\ x \neq 2 \\ x > - 2 \\ x \neq 1 \\ x < 10 \end{matrix}

1 < x < 10, x \neq 2

Аргумент второго логарифма — полный квадрат: x² − 2x + 1 = (x − 1)². Чётная степень (x − 1)² неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x = 1, поэтому (x − 1)² > 0 равносильно x ≠ 1. Основание логарифма не может равняться единице: x − 1 ≠ 1 даёт x ≠ 2.

шаг 2.Упрощаем логарифмы

Выносим показатели из-под логарифмов и приводим правую часть к основанию 3. Чётный показатель выносится с модулем, но на ОДЗ x − 1 > 0, поэтому |x − 1| = x − 1.

\log_{x - 1} \sqrt{x + 2} = \frac{1}{2} \log_{x - 1} (x + 2)

\log_{3} {(x - 1)}^{2} = 2 \log_{3} | x - 1 | = 2 \log_{3} (x - 1)

\log_{9} (10 - x) = \frac{1}{2} \log_{3} (10 - x)

\frac{1}{2} \log_{x - 1} (x + 2) \cdot 2 \log_{3} (x - 1) \geq \frac{1}{2} \log_{3} (10 - x)

\log_{x - 1} (x + 2) \cdot \log_{3} (x - 1) \geq \frac{1}{2} \log_{3} (10 - x)

Корень под логарифмом: log_a√B = ½·log_aB, потому что √B = B^{1/2}. Основание 9 = 3², поэтому log₉A = log₃A : log₃9 = ½·log₃A.

шаг 3.Переводим левую часть в основание 3

По формуле перехода к новому основанию первый логарифм становится дробью с log₃(x − 1) в знаменателе, и этот множитель сокращается.

\log_{x - 1} (x + 2) = \frac{\log_{3} (x + 2)}{\log_{3} (x - 1)}

\frac{\log_{3} (x + 2)}{\log_{3} (x - 1)} \cdot \log_{3} (x - 1) = \log_{3} (x + 2)

\log_{3} (x + 2) \geq \frac{1}{2} \log_{3} (10 - x)

Сокращение log₃(x − 1) допустимо: x ≠ 2 уже исключено ОДЗ, значит x − 1 ≠ 1 и log₃(x − 1) ≠ 0 — делитель не равен нулю, решений не теряем.

шаг 4.Снимаем логарифм

Половину вносим обратно под логарифм: ½·log₃(10 − x) = log₃√(10 − x). Основание 3 больше единицы, логарифм возрастает — знак неравенства сохраняется.

\frac{1}{2} \log_{3} (10 - x) = \log_{3} \sqrt{10 - x}

\log_{3} (x + 2) \geq \log_{3} \sqrt{10 - x}

x + 2 \geq \sqrt{10 - x}

Внесение множителя ½ под знак логарифма законно: на ОДЗ 10 − x > 0, посторонние значения не появляются.

шаг 5.Возводим в квадрат

На ОДЗ x > 1, поэтому левая часть x + 2 > 3 положительна, а справа стоит арифметический корень. Обе части неотрицательны — возведение в квадрат равносильно.

{(x + 2)}^{2} \geq 10 - x

x^{2} + 4 x + 4 \geq 10 - x

x^{2} + 5 x - 6 \geq 0

(x + 6) (x - 1) \geq 0

По теореме Виета для x² + 5x − 6 = 0: сумма корней должна равняться −5, произведение — −6. Подбираем −6 и 1, отсюда x² + 5x − 6 = (x + 6)(x − 1). Пробная точка x = 0: (0 + 6)(0 − 1) = −6 < 0 — знак «−» в среднем интервале, чередование «+, −, +». Обе точки закрашены (нестрогое ≥).

шаг 6.Пересечение с ОДЗ

Пересекаем найденное множество с ОДЗ. Луч x ≤ −6 в ОДЗ не попадает, а условие x ≥ 1 на всей ОДЗ выполнено — остаётся сама ОДЗ.

На оси неравенства точка x = 1 закрашена, но ОДЗ её выкалывает: основание логарифма x − 1 должно быть строго положительным. Точка x = 2 выколота — при ней основание равно единице; точка x = 10 выколота, там 10 − x = 0.

условие