Задача 10151317 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Основание 2x положительно и не равно единице. Аргумент 0,25 положителен сам по себе, аргумент 32x — при x > 0.

ОДЗ

{\begin{matrix} 2 x > 0 \\ 2 x \neq 1 \\ 32 x > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > 0 \\ x \neq 0,5 \end{matrix}

Условие 32x > 0 следует из x > 0. Из 2x ≠ 1 получаем x ≠ 0,5: при этом значении основание логарифма равно единице.

шаг 2.Переходим к основанию 2

Логарифм с переменным основанием 2x переводим к основанию 2 по формуле перехода, а логарифм произведения 32x раскладываем в сумму.

\log_{2 x} 0,25 = \frac{\log_{2} 0,25}{\log_{2} 2 x} = \frac{- 2}{1 + \log_{2} x}

\log_{2} 32 x - 1 = 5 + \log_{2} x - 1 = \log_{2} x + 4

log₂0,25 = log₂2⁻² = −2; log₂2x = log₂2 + log₂x = 1 + log₂x; log₂32 = 5. На ОДЗ x > 0, поэтому оба множителя под логарифмом положительны и раскладывать сумму можно.

шаг 3.Делаем замену

Обозначим t = log₂ x. Ограничение ОДЗ x ≠ 0,5 превращается ровно в ноль знаменателя.

t = \log_{2} x, t \neq - 1

\frac{- 2}{t + 1} \geq t + 4

x = 0,5 даёт t = log₂0,5 = −1.

шаг 4.Сводим к одной дроби

Переносим правую часть влево и приводим к общему знаменателю t + 1.

\frac{- 2}{t + 1} - (t + 4) \geq 0

\frac{- 2 - (t + 4) (t + 1)}{t + 1} \geq 0

\frac{- 2 - (t^{2} + 5 t + 4)}{t + 1} \geq 0

\frac{- t^{2} - 5 t - 6}{t + 1} \geq 0

- t^{2} - 5 t - 6 = - (t^{2} + 5 t + 6) = - (t + 2) (t + 3)

\frac{- (t + 2) (t + 3)}{t + 1} \geq 0

Проверка по Виета: для t² + 5t + 6 сумма корней должна равняться −5, произведение — 6. У нас −2 + (−3) = −5 и (−2)·(−3) = 6 — оба сходятся. Минус перед произведением оставляем и на −1 неравенство не домножаем: знак определит пробная точка.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корни числителя: −3 и −2 — закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва знаменателя t = −1 выколота. Все корни простые, знаки чередуются.

Пробная точка t = 0: −(0 + 2)(0 + 3) : (0 + 1) = −6 < 0 → на интервале (−1; +∞) знак «−». Решение: t ≤ −3 или −2 ≤ t < −1.

шаг 6.Обратная замена

Подставляем t = log₂x, записываем границы как логарифмы степеней двойки и снимаем логарифмы: основание 2 > 1, логарифм возрастает — знаки сохраняются. Слева границу даёт ОДЗ.

1) \log_{2} x \leq - 3

\log_{2} x \leq \log_{2} 2^{- 3}

x \leq 2^{- 3}

x \leq 0,125

0 < x \leq 0,125

2) - 2 \leq \log_{2} x < - 1

\log_{2} 2^{- 2} \leq \log_{2} x < \log_{2} 2^{- 1}

2^{- 2} \leq x < 2^{- 1}

0,25 \leq x < 0,5

Ноль выколот — по ОДЗ x > 0; граница 0,5 выколота, там основание 2x равно единице. Границы 0,125 и 0,25 закрашены — неравенство нестрогое.

условие