условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы логарифмов положительны при x > 0. Основания 0,125x и 0,5x не равны единице, поэтому x ≠ 8 и x ≠ 2. Знаменатель log_{0,5x}16 в ноль не обращается, так как 16 ≠ 1.
Аргументы 8x, 2, 16 положительны при x > 0. Основания степени 0,125x и 0,5x дают выколотые точки x = 8 и x = 2.
шаг 2.Замена t = log₂ x
Переводим всё к основанию 2 и обозначаем t = log₂ x. Каждый логарифм выражаем через t по формуле перехода.
log₂(0,125x) = log₂ x − 3 = t − 3, log₂(0,5x) = t − 1. По ОДЗ t ≠ 3 и t ≠ 1.
шаг 3.Сводим к рациональному неравенству
Подставляем выражения и умножаем обе части на 4. Деление на дробь — умножение на обратную.
(3 + t)(t − 1) − (t − 3) = t² + 2t − 3 − t + 3 = t² + t = t(t + 1). После умножения на 4 справа остаётся 1.
шаг 4.Метод интервалов в t
Корни числителя: t = −1 и t = 0 — закрашены (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя: t = 3 — выколота. Точка t = 1 выколота по ОДЗ (при ней основание 0,5x равно 1); знак дроби через неё не меняется, поэтому слева и справа от неё стоит один и тот же «−».
Пробная точка t = 2: 2·(2 + 1)/(2 − 3) = (2·3)/(−1) = −6 < 0 → на (0; 3) знак «−». Через t = 1 знак не меняется: это не корень дроби, а выколотая точка ОДЗ. Решение: t ≤ −1 или 0 ≤ t < 3, причём t = 1 выколота (там 0,5x = 1).
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x = 2ᵗ. Неравенство t ≤ −1 даёт 0 < x ≤ 1/2; промежуток 0 ≤ t < 1 — это 1 ≤ x < 2; промежуток 1 < t < 3 — это 2 < x < 8.
Точки x = 2 (t = 1) и x = 8 (t = 3) выколоты по ОДЗ. Границы x = 1/2 (t = −1) и x = 1 (t = 0) входят.