условие
шаг 1.Область допустимых значений
Первый логарифм требует x − 4 > 0, второй — положительности чётной степени (4 − x)⁸. Кроме того, знаменатель дроби не должен обращаться в ноль, поэтому сразу раскладываем его на множители.
Чётная степень (4 − x)⁸ неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x = 4, поэтому (4 − x)⁸ > 0 равносильно x ≠ 4. Условие x > 4 строже — оно уже исключает четвёрку. По теореме Виета для x² − 5x − 14 = 0: сумма корней должна равняться 5, произведение — −14. Подбираем 7 и −2, отсюда x² − 5x − 14 = (x − 7)(x + 2). Точка x = −2 лежит левее ОДЗ x > 4 и дальше не понадобится.
шаг 2.Сворачиваем числитель в квадрат
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Чётный показатель выносится с модулем: log₂b⁸ = 8·log₂|b|. Без модуля потерялась бы ветка b < 0, а здесь как раз 4 − x < 0. Свёртка по формуле квадрата разности: t² − 2·t·4 + 4² = (t − 4)².
шаг 3.Метод интервалов
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .