условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основание 2x положительно и не равно единице. Аргумент 0,25 положителен сам по себе, аргумент 32x — при x > 0.
Условие 32x > 0 следует из x > 0. Из 2x ≠ 1 получаем x ≠ 0,5: при этом значении основание логарифма равно единице.
шаг 2.Переходим к основанию 2
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log₂0,25 = log₂2⁻² = −2; log₂2x = log₂2 + log₂x = 1 + log₂x; log₂32 = 5. На ОДЗ x > 0, поэтому оба множителя под логарифмом положительны и раскладывать сумму можно.
шаг 3.Делаем замену
Обозначим t = log₂ x. Ограничение ОДЗ x ≠ 0,5 превращается ровно в ноль знаменателя.
x = 0,5 даёт t = log₂0,5 = −1.
шаг 4.Сводим к одной дроби
Переносим правую часть влево и приводим к общему знаменателю t + 1.
Проверка по Виета: для t² + 5t + 6 сумма корней должна равняться −5, произведение — 6. У нас −2 + (−3) = −5 и (−2)·(−3) = 6 — оба сходятся. Минус перед произведением оставляем и на −1 неравенство не домножаем: знак определит пробная точка.
шаг 5.Метод интервалов в t
Корни числителя: −3 и −2 — закрашены (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя t = −1 выколота. Все корни простые, знаки чередуются.
Пробная точка t = 0: −(0 + 2)(0 + 3) : (0 + 1) = −6 < 0 → на интервале (−1; +∞) знак «−». Решение: −3 ≤ t ≤ −2 или t > −1.
шаг 6.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Границы 0,125 и 0,25 закрашены — неравенство нестрогое. Точка 0,5 выколота: там основание 2x равно единице, и логарифм не определён. Условие ОДЗ x > 0 выполнено автоматически: все найденные x больше 0,125.