условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы обоих логарифмов положительны, подкоренное выражение неотрицательно. В обоих аргументах стоит один и тот же трёхчлен — выделяем в нём полный квадрат.
Первые два условия выполнены при любом x: трёхчлен (x − 1)² + 1 не меньше 1. Работающим остаётся только третье.
шаг 2.Делаем замену
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Нижняя граница a ≥ 0 берётся из x² − 2x + 2 ≥ 1: логарифм с основанием 5 > 1 от числа, не меньшего 1, неотрицателен. Верхняя граница a ≤ 1 — это третье условие ОДЗ.
шаг 3.Решаем неравенство в a
Правая часть 1 + a не меньше единицы, левая — арифметический корень. Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат равносильно.
Пробная точка a = 1: 1·(1 + 3) = 1·4 = 4 > 0 — знак «+» на правом интервале, чередование «+, −, +». Обе точки выколоты (строгое >). Интервал (−∞; −3) с ОДЗ не пересекается, а точка a = 0 выколота самим неравенством. Остаётся 0 < a ≤ 1.
шаг 4.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Ноль и единицу записываем как log₅1 и log₅5 — тогда обе части каждого неравенства становятся логарифмами с общим основанием, и логарифмы снимаются.
шаг 5.Решаем систему
Первое условие сворачивается в полный квадрат, второе — обычное квадратное неравенство. Пересекаем решения.