условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы определены только при положительном аргументе.
ОДЗ
шаг 2.Приводим к одному основанию
Основание степени 25 = 5², поэтому log₂₅x = ½·log₅x, а log₂₅x³ = 3·log₂₅x = (3/2)·log₅x (формула перехода к новому основанию). Умножаем обе части на 2 и переносим всё влево.
log₂₅x³ = 3·log₂₅x — выносим показатель степени 3 множителем перед логарифмом.
шаг 3.Выносим общий множитель
У всех слагаемых общий множитель log₅x. Выносим его, оставшийся квадратный трёхчлен раскладываем на множители.
Корни x² − 2x − 3 по теореме Виета: сумма 2, произведение −3 → x = 3 и x = −1. На ОДЗ x > 0 множитель (x + 1) > 0, поэтому на знак не влияет — остаётся log₅x·(x − 3) ≥ 0.
шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Множитель (x + 1) > 0 на всей ОДЗ — отбрасываем без смены знака. Остаётся log₅x·(x − 3) ≥ 0. Логарифм log₅x обращается в ноль при x = 1: основание 5 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— слева от 1 отрицателен, справа положителен. Множитель (x − 3) меняет знак в точке 3. Обе точки закрашены (нестрогое ≥).Пробная точка x = 2: log₅2·(2 − 3) < 0 → знак «−». На крайних интервалах знаки чередуются. Левая граница 0 выколота — вне ОДЗ.