Задача 10151395 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{(0,5 - | 2 x^{2} - 5 x + 2 |)} (0,5 + | 8 x^{2} - 2 x - 1 |) \geq 1

шаг 1.Область допустимых значений

Обозначим модули через A и B. Оба неотрицательны, поэтому основание 0,5 − A не превосходит 0,5, а аргумент 0,5 + B не меньше 0,5.

ОДЗ

A = | 2 x^{2} - 5 x + 2 | \geq 0

B = | 8 x^{2} - 2 x - 1 | \geq 0

{\begin{matrix} 0,5 - A > 0 \\ 0,5 - A \neq 1 \\ 0,5 + B > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} A < 0,5 \\ A \neq - 0,5 \\ B > - 0,5 \end{matrix}

0 < 0,5 - A \leq 0,5 < 1

Второе и третье условия выполняются сами собой: A и B неотрицательны, поэтому A никогда не равно −0,5, а B всегда больше −0,5. Остаётся одно условие A < 0,5. Решать его отдельно не придётся — достаточно будет проверить найденное значение x. Главный вывод: основание не просто положительно, оно строго меньше единицы при любом допустимом x.

шаг 2.Основание меньше единицы — знак переворачивается

Записываем единицу как логарифм основания по самому себе и снимаем логарифмы. Основание лежит между нулём и единицей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

\log_{0,5 - A} (0,5 + B) \geq 1

\log_{0,5 - A} (0,5 + B) \geq \log_{0,5 - A} (0,5 - A)

0,5 + B \leq 0,5 - A

A + B \leq 0

Половинки сокращаются, и слева остаётся сумма двух модулей.

шаг 3.Сумма двух модулей не больше нуля

Каждое слагаемое неотрицательно, поэтому сумма не превосходит нуля только при равенстве нулю каждого из них. Оба квадратных трёхчлена под модулями должны обратиться в ноль одновременно.

{\begin{matrix} A = 0 \\ B = 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 \\ 8 x^{2} - 2 x - 1 = 0 \end{matrix}

2 x^{2} - 5 x + 2 = 0

D = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9

x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \begin{matrix} = 2 \\ = 0,5 \end{matrix}

8 x^{2} - 2 x - 1 = 0

D = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 1) = 4 + 32 = 36

x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{16} = \frac{2 \pm 6}{16} \begin{matrix} = 0,5 \\ = - 0,25 \end{matrix}

x = 0,5

Первое уравнение даёт 2 и 0,5, второе — 0,5 и −0,25. Общее значение только одно: x = 0,5. Проверяем ОДЗ: при x = 0,5 получаем A = 0, то есть A < 0,5 выполнено, основание равно 0,5, аргумент тоже равен 0,5, и log₀,₅0,5 = 1 — неравенство обращается в равенство.

ответ

x = 0,5