шаг 1.Область допустимых значений

Основания логарифмов положительны и не равны единице, подкоренное выражение положительно.

Основания √x и x требуют x > 0, x ≠ 1. Подкоренное 17x² − 2 > 0 при x > 0 даёт x > √(2/17) = √34/17 ≈ 0,34.

шаг 2.Приводим к основанию x

Выносим степени из основания и аргумента: log_{√x} 8 = 2 log_x 8, а 4 log_x √(17x² − 2) = 2 log_x(17x² − 2). Делим обе части на 2.

log_{√x} b = log_x b / log_x √x = 2 log_x b; log_x √c = (1/2) log_x c. После деления на 2: 4 + 3 log_x 2 ≤ log_x(17x² − 2).

шаг 3.Собираем левую часть в один логарифм

Записываем 4 = log_x x⁴ и 3 log_x 2 = log_x 8. Слева получается единый логарифм.

4 = log_x x⁴ (основание x), 3 log_x 2 = log_x 2³ = log_x 8. Сумма логарифмов одного основания — логарифм произведения 8x⁴.

шаг 4.Метод рационализации

Замена s = x²: 8s² − 17s + 2 = 0, D = 289 − 64 = 225, s = (17 ± 15)/16, то есть s = 2 или s = 1/8. Множитель основания (a − 1) = x − 1.

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Положительные корни множителей: 1/(2√2) = √2/4, 1, √2 (закрашены, нестрогое ≤). Левее √34/17 ось обрезана ОДЗ, точка x = 1 выколота.

Пробная точка x = 0,4 на (√34/17; √2/4): (−0,6)(0,16 − 2)(8·0,16 − 1) = (−0,6)(−)(+) < 0 ✓. Знаки чередуются. С учётом ОДЗ решение: (√34/17; √2/4] и (1; √2]. Корень x = 1 — точка разрыва логарифма, выколот.