условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основание логарифма положительно и не равно единице, оба аргумента положительны.
ОДЗ
Из x³ − 1 > 0 сразу следует x > 1, что сильнее условия x > 0 и снимает запрет x ≠ 1. Положительность x³ + 3x − 7 проверим на найденном множестве решений.
шаг 2.Метод рационализации
Обе части — логарифмы с основанием x. По методу рационализацииМетод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
Множитель задаёт направление: при он положителен (знак как у ), при — отрицателен, знак переворачивается.
знак разности log_x f − log_x g совпадает со знаком (x − 1)(f − g).Кубические слагаемые x³ сокращаются, остаётся −3x + 6. Делим на −3 < 0 — знак неравенства переворачивается, получаем (x − 1)(x − 2) ≥ 0.
шаг 3.Пересекаем с ОДЗ
Неравенство (x − 1)(x − 2) ≥ 0 даёт x ≤ 1 или x ≥ 2. Условие ОДЗ x > 1 оставляет только x ≥ 2. На этом множестве x³ + 3x − 7 ≥ 8 + 6 − 7 = 7 > 0, поэтому второй аргумент положителен.
Пробная точка x = 3 на (2; +∞): (3 − 1)(3 − 2) = 2 > 0 ✓. Точка 1 выколота (ОДЗ: x > 1), точка 2 закрашена (нестрогое ≤, в ней log_x f = log_x g).