Задача 10151136 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

4 \sqrt{{(3 x - 1)}^{2}} + \sqrt{\log_{2}^{2} x^{2} + 16 \log_{4} x} \leq 4 - 12 x

шаг 1.Приводим логарифмы к основанию 2

Логарифмы определены только при x > 0 — тогда x² > 0 выполняется само собой, а log₂x² раскрывается без модуля. Логарифм по основанию 4 переводим к основанию 2.

\log_{2} x^{2} = 2 \log_{2} x, \log_{4} x = \frac{\log_{2} x}{2}

\log_{2}^{2} x^{2} + 16 \log_{4} x = {(2 \log_{2} x)}^{2} + 16 \cdot \frac{\log_{2} x}{2} =

= 4 \log_{2}^{2} x + 8 \log_{2} x = 4 \log_{2} x (\log_{2} x + 2)

Формула перехода к новому основанию: log₄x = log₂x / log₂4 = log₂x / 2. Равенство log₂x² = 2log₂x верно именно потому, что x > 0: в общем случае было бы 2log₂|x|.

шаг 2.Область допустимых значений

Кроме положительности x нужна неотрицательность подкоренного выражения. Приравниваем каждый множитель к нулю и расставляем знаки.

ОДЗ

{\begin{matrix} x > 0 \\ 4 \log_{2} x (\log_{2} x + 2) \geq 0 \end{matrix}

\log_{2} x = 0 ⟺ x = 1

\log_{2} x + 2 = 0 ⟺ \log_{2} x = - 2 ⟺ x = 2^{- 2} = 0,25

Пробная точка x = 2: 4·log₂2·(log₂2 + 2) = 4·1·3 = 12 > 0 — знак «+» на правом интервале, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≥), точка 0 выколота: левее неё логарифмов просто нет. Итог: ОДЗ — это 0 < x ≤ 0,25 и x ≥ 1.

шаг 3.Оцениваем обе части

Корень из квадрата равен модулю, а правую часть выносим за скобку: 4 − 12x = −4(3x − 1). Модуль никогда не меньше выражения, взятого со знаком минус, а арифметический корень неотрицателен — значит левая часть не меньше правой при любом x из ОДЗ.

4 \sqrt{{(3 x - 1)}^{2}} = 4 | 3 x - 1 |, 4 - 12 x = - 4 (3 x - 1)

4 | 3 x - 1 | + \sqrt{4 \log_{2} x (\log_{2} x + 2)} \leq - 4 (3 x - 1)

| 3 x - 1 | \geq - (3 x - 1) ⟹ 4 | 3 x - 1 | \geq - 4 (3 x - 1)

\sqrt{4 \log_{2} x (\log_{2} x + 2)} \geq 0

{\begin{matrix} 4 \log_{2} x (\log_{2} x + 2) = 0 \\ | 3 x - 1 | = - (3 x - 1) \end{matrix} ⟺

{\begin{matrix} \log_{2} x (\log_{2} x + 2) = 0 \\ 3 x - 1 \leq 0 \end{matrix}

Левая часть всегда не меньше правой, поэтому нестрогое «≤» достижимо только как равенство: корень обязан обратиться в ноль, а модуль — раскрыться со знаком минус. Равенство |a| = −a равносильно a ≤ 0.

шаг 4.Находим корни и делаем отбор

Решаем уравнение системы, затем проверяем каждый корень на второе условие.

\log_{2} x (\log_{2} x + 2) = 0 ⟺ [\begin{matrix} \log_{2} x = 0 \\ \log_{2} x = - 2 \end{matrix}

[\begin{matrix} x = 1 \\ x = 0,25 \end{matrix}

3 x - 1 \leq 0 ⟺ x \leq \frac{1}{3}

x = 1 : 3 \cdot 1 - 1 = 2 > 0

x = 0,25 : 3 \cdot 0,25 - 1 = - 0,25 \leq 0

Оба корня лежат в ОДЗ: в них подкоренное выражение равно нулю. Условию 3x − 1 ≤ 0 удовлетворяет только x = 0,25, поэтому x = 1 отбрасываем. Проверка: при x = 0,25 левая часть равна 4·0,25 + 0 = 1, правая — 4 − 12·0,25 = 1, равенство достигается.

ответ

x = 0,25